50代から理数を学ぶ - とっても難しいと思った空間のベクトル問題 EX-128

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時空解さんの日記

2019

5月 19

(日)

09:17

とっても難しいと思った空間のベクトル問題 EX-128

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カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

この２、３日のあいだ、数学の学習スピードが亀のような速度になっています。白チャート「新課程チャート式基礎と演習数学 II+B」の空間ベクトルのところを学習しているのですが、遅くなっている原因は空間ベクトルが難しいからです。

私に取ってね。

一度答えを見て「おお！なるほど」と思っても、いざやり直してみると分からない…　( x x);?

二度見てやり直してもベクトル数式の変形で書き間違い…

最近、普通の数式では計算式の書き間違い・計算間違いの類はだんだんと減ってきてるんですけどね。
きっと数学の問題を解く事に慣れてきたのだと思います。
でも、ベクトルとなるとまだまだ…やっぱりベクトルの数式に慣れていないせいでしょう。

この理由は、普通の数式は言語脳で処理するけど、ベクトルの数式は空間脳で処理する必要があるからかな？

おっと　

ま、そんなことは余計な考えですね。

さて、昨日難しいなぁと思った問題がこちらです。

白チャート「新課程チャート式基礎と演習数学 II+B」p381 の EX128

四面体 $ OABC $ の辺 $ OA,~OC $ の中点をそれぞれ $ L,~M $ とし、辺 $ AB $ を $ 2:1 $ に内分する点を $ R $ とする。また、辺 $ OB $ を $ 2:1 $ に外分する点を $ N $ とし、直線 $ BC $ と直線 $ NM $ の交点を $ S $ とする。
(1) $ \vec{ OA } = \vec{ a },~ \vec{ OB }= \vec{ b },~ \vec{ OC }= \vec{ c } $ とするとき、$ \vec{ OS } $ を $ \vec{ a },~ \vec{ b },~ \vec{ c } $ を用いて表せ。
(2) $ RS /\!/ LM $ であることを証明せよ。

この問題は、まず与えられた問題の図を正しく描くことがなかなか難しいですよね。内分と外分が出て来ますから。でもこの辺はちゃんと学習していれば問題はありません。
難しいと想えるのは、線分 $ BC $ 上にある点 $ S $ の位置ですよね。$ BC $ の中点だと分かっているのならば簡単です。

$ \vec{ s } = \vec{ OS } = \displaystyle \frac{ \vec{ b } + \vec{ c } }{ 2 } $

ですからね。

でも点 $ S $ は中点ではありません。この位置をどう計算するか？　ここが問題です。

では答えを見てみましょう。

うーむ、エレガントな解答です。$ 〇 \cdot \vec{ b } + △ \cdot \vec{ c } $ と言う形に持って行って、点 $ b,~s,~c $ が一直線上にあることから $ 〇 + △ = 1 $ と言う式を立てて $ k $ を求めるところがポイントでしょう。

今日また夜、復習することにします。

では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。

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