皆さんこんにちは、時空 解です。(午後になってしまいました、すみません。m( _ _;)m )

数学検定を受検するちょっと前まで、青チャート式数学Ａの整数の問題をやっていたのですが…。
チャート式数学に「難易度数」と言うのがありますよね。

この数日間モヤモヤとしていたのが、この難易度数が２の「教科書の例題レベル」の問題なんです。
問題と言うのは下記の 数学Ａ 例題１１８ です。

基本例題１１８ 連続する整数の積の性質の利用

(1) 連続した２つの整数の積は２の倍数である ことを証明せよ。
(2) 連続した３つの整数の積は６の倍数である ことを証明せよ。
(3) $ n $ が奇数のとき、$ n^3 - n $ は $ 24 $ の倍数であることを証明せよ。
なお、(2) では (1) の性質、(3) では (1), (2) の性質を利用してよい。

まず、初めてこの問題に出くわした時には、その解答を観て
「こんな証明で証明したことになるのか？」
と言う想いにかられました。

　…この感覚…　確か高校生の時にも味わった想いです。なんだか数学らしくない感じなんですよね。
なんだか屁理屈を解答に書いている、と言った感じです。難易度２の
「教科書の例題レベル」
なんだし…まぁこんな問題どうでもいいですよね、はい、次の問題に進もうー！　…なーんて、高校生の頃なら想ったでしょう。

でもこの数日間この問題に関わっていて、だんだんと整数の問題の証明の仕方の輪郭…？　とでも言いましょうかね、そんなものが見えて来ました。

うーむ…(1) は確かに、連続した２つの整数なんだから

・どちらかが偶数
に決まっています。

ですから積をとったら２の倍数です。

それに (2) の「連続した３つの整数」は、確かに３の倍数が一つ入るから、３つを掛け合わせると３の倍数です。

でもね…。

この歳になって、やっとこの手の問題をナメずに考えて明確になったことがあります。

・どうして２の倍数で、しかも３の倍数だったら６の倍数なの？
この問い、つまり設問 (2) に皆さんは明確に、自信を持って答えられたでしょうか…？

私はやっと、自信を持って答えられる文言に辿り着きました。

・$ 2 $ と $ 3 $ が互いに素で、最小公倍数が $ 6 $ だから
ですよね。

ここで大切なのが
・互いに素
と言うところでしょう。

私は高校生の時から今まで「互いに素」と言う点が明瞭に認識・自覚できていなかったのだと思います。
認識させてくれたのはもちろん…そう！　次の設問 (3) です。ここに「互いに素」と言うことの重要性が見え隠れします。
(直接教えてくれている訳ではありませんよ。その点はご了承下さいませませ)

この設問 (3) には数日間、考えさせられました。
まず考えさせられたのは問題文の中に $ 24 $ と言う数値が書かれている点です。

(3) $ n $ が奇数のとき、$ n^3 - n $ は $ 24 $ の倍数であることを証明せよ。

この $ 24 $ と言う数値がもし無かったとしたら？　つまり問題文が
 
と成っていたとしたら「$ 24 $ の倍数」と言うことに、果たしてどうやって辿り着いたら良いのでしょうね？
グッと難しい問題になる気がします。

また別の角度からみると、例えば設問 (1), (2) が無くて (3) のみが単独でポンと出題されたら難しい問題になりますよね。
(まぁ設問に分かれている問題はそんなもんですが)

ともかくこの 設問 (3) には時間が掛かりました。

ではここで、設問 (3) に対する私の解答記述を、まずはご紹介させて下さい。
これをみて頂ければ「互いの素」と言うのがポイントである事も感じて貰えるでしょう。

私の解答例

ともかくオリジナルの問題文には「 $ 24 $ の倍数であることを証明せよ」と書かれているところが親切です。$ 12 $ ではなく $ 24 $ なのだと教えてくれていますからね。
ですから $ 24 $ の倍であることを証明する、と言う目標に向かって考える (式変形をする) ことができます。

私のような解答を始めに考え始めてしまうと $ 24 $ なのか、それとも最小公倍数の $ 12 $ で良いのかハマります。( ^^;

この例題１１８から得られる事は、
・与式を変形する前に目標値はどのくらいか当たりを付けて、与式を変形することも有効。
・設問 (1), (2) のような前段階を持って、(3) を証明できることを理解する。

整数問題は教科書の例題レベルでも難しいです。ナメてかかると解けません。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。