皆さんこんにちは、時空 解です。

昨日はブログの投稿が夜になってしまいました。朝から忙しかったことと、再就職の件。それから重要例題５５に付いて考えていましたから、遅くなってしまいました。おまけに「青チャート式数学II、重要例題５５」に関連して、２項定理をキチンと押さえておく必要性を感じました。
それでブログの投稿が遅くなったんです。すみません。m( _ _ )m

今日は「青チャート式数学II、重要例題５５」の設問 (1) について、その解答に肉付けをしてゆきたいと思います。
チャート式の解答はシンプルと言いますか、説明不足と言いますか…ですからね。( ^^;

でも、これもなかなか骨の折れる作業でした。ブログの投稿がまた夜になってしまいました。重ね重ね申し訳ありませんでした。m( _ _ )m

さて、重要例題５５の設問 (1) には、２つの解答が載っています。
展開の公式の発想を利用する解答と、もう一つは (別解として) ２項定理を利用する解答です。

どちらも
$ x^n -1 = (x-1)^2 \cdot Q(x) + ax + b $

までは一緒ですけどね。
まずは上式が書けないといけません。

ポイントは $ x^n -1 $ を $ (x-1)^2 $ で割るのだから、余りは $ x^2 $ の次数よりも小さい次数が余る、と言う点です。
ですから、余りを $ ax + b $ と、$ x $ の１次式で表せることがポイントですね。
これに付いては、チャート式数学の解答も下記のように表現しています。

解答 (1行目 ～ 3行目)
(1) $ x^n -1 $ を $ (x-1)^2 $ で割ったときの商を $ Q(x) $、余りを $ ax + b $ とすると、次の等式が成り立つ。
　　　 $ \textcolor{red}{ x^n -1 = (x-1)^2 \cdot Q(x) + ax + b } $　　…(丸１)

問題の余りを求めるためには、余り $ ax + b $ の $ a,~b $ ２つの未知数を求めれば良いのです。
ここまでは良いですよね？

ここで (丸１) の式に $ x = 1 $ を代入してみましょう。
そうすることで、２つの未知数が１つの未知数で求められるようになります。
　　　$ 1^n -1 = (1-1)^2 \cdot Q(1) + a \cdot 1 + b $
　　　$　　　0 = (0)^2 \cdot Q(1) + a + b $
　　　$　　　0 = 0 \cdot Q(1) + a + b $
　　　従って $ a + b = 0 $　⇒　$ b = -a $

上記のことが、チャート式数学の解答には下記のように１行で書かれています。

解答 (4行目)
両辺に $ x = 1 $ を代入すると　　　$ 0 = a + b $ すなわち $ b = -a $

これで求めなくてはならない未知数 $ a,~b $ が１つ ( $ a $ ) に成りましたね。
(丸１) の式も
　　　$ x^n -1 = (x-1)^2 \cdot Q(x) + ax - a $
　　　$ x^n -1 = (x-1)^2 \cdot Q(x) + a(x - 1) $

と変形できます。

では、ここから $ a $ を求めるにはどうすればようでしょうか？
ここまでくると、チャート式数学の解答の続き、下記の意味が見えてきますよね。

解答 (5行目 ～ 8行目)
(1) に代入して　　$ x^n -1 = (x-1)^2 Q(x) + ax - a $
　　　　　　　　　　　　$ = (x-1) \{ (x-1) Q(x) +a \} $
ここで、$ x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm \dotsm + 1) $ であるから
　　　　$ x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm \dotsm + 1 = (x-1) Q(x) + a $

さて、ここまでて上の最後の行 (解答 8行目) の式
$ x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm \dotsm + 1 = (x-1) Q(x) + a $
から $ a $ を求めることが出来ればいいですよね。

でも、ちょっとその前に…。

分かりずらいのは、解答の 7行目 ですよね。
$ x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm \dotsm + 1) $
は本当に正しいのか？　一度確認する必要があります。
(ここが展開の公式の発想で、式変形を試みているところです)

展開してみましょう。

右辺に分配則を使って書いてみると
$ (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm \dotsm + 1) = x(x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm　\dotsm + 1) $
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$ -1(x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm　\dotsm + 1) $
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$ = x^n -1 $

となりますので等しいことが確認できました。ここまでくれば後は
　　　　$  \textcolor{blue}{ x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm \dotsm + 1 = (x-1) Q(x) + a } $
から $ a $ を求める方法を考えれば良いことがわかりますよね。

では、次に進みましょう。

$ \textcolor{blue}{ (x-1) Q(x) + a } $ の $ x $ に $ 1 $ を入れてみるとどうなりますか？
$ (1-1) Q(1) + a = 0 \cdot Q(1) + a $ ですから、$ a $ ですよね。

$  \textcolor{blue}{ x^{n-1} + x^{n-2} + \dotsm \dotsm + 1 } $ の $ x $ に $ 1 $ を入れてみると、どうなりますか？
$ 1 $ は何乗してもやっぱり $ 1 $ ですからね。$ 1 $ が $ n-1 $ 個並ぶ足し算になります。最後に $ +1 $ がありますから、$ 1 $ が $ n $ 個の足し算というわけです。
つまり
$ a = n $

となります。
このことが解答には下記のように書かれているのです。

解答 (9行目 ～ 11行目)
この式の両辺に $ x =1 $ を代入すると　　$  \textcolor{red}{ \underbrace{  \textcolor{black}{1 + 1 + \dotsm \dotsm + 1 } }_{ n 個 } } = a $
よって　　$ a = n $　　　$ b = -a $ であるから　　$ b = -n $
ゆえに、求める余りは　　$ nx -n $

これで、まずは展開の公式の発想を利用して、式変形を試みる解法の肉付けが終わりました。
次は二項定理を利用する解答 (別解) の肉付けですが、ブログ記事が長くなりますので、次の記事に回すことにしました。

そうしないと、記事が投稿できないのです。…きっと文字数制限が掛かってますね。( ^^;
では、続きは次のブログ記事に託します。