第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題４　類似問題

$ t $ を実数とします。
$ xyz $ 空間内の３点 $ A(2,~-1,~1) $、$ B(1,~0,~1) $、$ C(t,~-1,~2) $ について、
次の問いに答えなさい。
(1) $ \triangle ABC $ の面積 $ S $ が $ 2 $ であるとき、$ t $ のとり得る値を求めなさい。

(2) 線分 $ AB $ を $ 3:1 $ に内分する点 $ P $、線分 $ AC $ を $ 1:3 $ に内分する点 $ Q $ をとり、
$ \triangle APQ $ の重心を $ G $ とします。
$ \vec{ AG } $ の大きさが $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 3 } $ であるとき、t のとり得る値を求めなさい。

第460回 数学検定準１級 ２次問題、問題４　類似問題　解答

【利用する公式・定理】

1. ベクトルの成分表示と大きさ
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ のとき、
$\vert{}\vec{a}\vert{} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

2. ベクトルの内積
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$、$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ のとき、
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

3. ベクトルの大きさによる三角形の面積公式
$\Delta \text{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{\vert{}\vec{\text{AB}}\vert{}^2 \vert{}\vec{\text{AC}}\vert{}^2 - (\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}})^2}$

【記述解答】

3点 $\text{A}(2, -1, 1)$，$\text{B}(1, 0, 1)$，$\text{C}(t, -1, 2)$ に対し、ベクトル $\vec{\text{AB}}$，$\vec{\text{AC}}$ の成分はそれぞれ以下のようになる。
$\vec{\text{AB}} = (1 - 2, \, 0 - (-1), \, 1 - 1) = (-1, \, 1, \, 0)$
$\vec{\text{AC}} = (t - 2, \, -1 - (-1), \, 2 - 1) = (t - 2, \, 0, \, 1)$

各ベクトルの大きさの2乗および内積を計算する。

$\vert{}\vec{\text{AB}}\vert{}^2 = (-1)^2 + 1^2 + 0^2 = 2$
$\vert{}\vec{\text{AC}}\vert{}^2 = (t - 2)^2 + 0^2 + 1^2 = (t - 2)^2 + 1$
$\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = (-1)(t - 2) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -(t - 2)$

三角形の面積の公式に代入する。
$S = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot \{(t - 2)^2 + 1\} - \{-(t - 2)\}^2}$
$S = \frac{1}{2} \sqrt{2(t - 2)^2 + 2 - (t - 2)^2}$
$S = \frac{1}{2} \sqrt{(t - 2)^2 + 2}$

条件より $S = 2$ であるから、
$\frac{1}{2} \sqrt{(t - 2)^2 + 2} = 2$
$\sqrt{(t - 2)^2 + 2} = 4$

両辺を2乗して整理する。
$(t - 2)^2 + 2 = 16$
$(t - 2)^2 = 14$
$t - 2 = \pm \sqrt{14}$
$t = \mathbf{2 \pm \sqrt{14}}$


(2) 解答

【利用する公式・定理】

1. 分点ベクトルの公式
点 $\text{P}$ が線分 $\text{AB}$ を $m:n$ に内分するとき、
$\vec{\text{AP}} = \frac{m}{m + n} \vec{\text{AB}}$

2. 三角形の重心の位置ベクトル
$\triangle \text{APQ}$ の重心 $\text{G}$ に対し、始点を $\text{A}$ とすると、
$\vec{\text{AG}} = \frac{\vec{\text{AA}} + \vec{\text{AP}} + \vec{\text{AQ}}}{3} = \frac{\vec{\text{AP}} + \vec{\text{AQ}}}{3}$

【記述解答】

点 $\text{P}$ は線分 $\text{AB}$ を $3:1$ に内分し、点 $\text{Q}$ は線分 $\text{AC}$ を $1:3$ に内分するので、
$\vec{\text{AP}} = \frac{3}{4} \vec{\text{AB}}$
$\vec{\text{AQ}} = \frac{1}{4} \vec{\text{AC}}$
と表せる。

$\triangle \text{APQ}$ の重心 $\text{G}$ について、ベクトル $\vec{\text{AG}}$ は、
$\vec{\text{AG}} = \frac{\vec{\text{AP}} + \vec{\text{AQ}}}{3} = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4} \vec{\text{AB}} + \frac{1}{4} \vec{\text{AC}} \right) = \frac{1}{12} \left( 3\vec{\text{AB}} + \vec{\text{AC}} \right)$
となる。

ここで、$3\vec{\text{AB}} + \vec{\text{AC}}$ の成分を求める。
$3\vec{\text{AB}} + \vec{\text{AC}} = 3(-1, \, 1, \, 0) + (t - 2, \, 0, \, 1) = (t - 5, \, 3, \, 1)$

したがって、$\vec{\text{AG}}$ の大きさは、
$\vert{}\vec{\text{AG}}\vert{} = \frac{1}{12} \vert{}3\vec{\text{AB}} + \vec{\text{AC}}\vert{} = \frac{1}{12} \sqrt{(t - 5)^2 + 3^2 + 1^2} = \frac{1}{12} \sqrt{(t - 5)^2 + 10}$

条件より $\vert{}\vec{\text{AG}}\vert{} = \frac{1}{3}$ であるから、
$\frac{1}{12} \sqrt{(t - 5)^2 + 10} = \frac{1}{3}$
$\sqrt{(t - 5)^2 + 10} = 4$

両辺を2乗して整理する。
$(t - 5)^2 + 10 = 16$
$(t - 5)^2 = 6$
$t - 5 = \pm \sqrt{6}$
$t = \mathbf{5 \pm \sqrt{6}}$