50代から理数を学ぶ - 重要例題１５を解いていて… "完全順列" なんてものがあるんですね

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時空解さんの日記

[2019-1]

2019

1月 30

(水)

08:58

重要例題１５を解いていて… "完全順列" なんてものがあるんですね

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カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

２、３日前のことですが、青チャート「改訂版チャート式基礎からの数学I+A」の p318 の重要例題１５を解いていて気がついた事があります。去年の９月ごろにも解いたことがある問題なのですが、その時には気が付きませんでした。

"重要例題１５" と言う文字の横に "完全順列 ($ k $ 番目の数が $ k $ でない順列 ) と書かれています。この文章だけ読むとなんのことやら分からないですよね？そもそも $ k $ 番目の数が $ k $ でない順列ってどんな順列なのかも、私はピンとは来ません。
でも、これが数学者の間では常識的な文章表現なんでしょうね。
$ k $ 番目の数が $ k $ でない順列の具体例としては、ズバリ！重要例題の１５の問題がそれにあたるのでしょう。
引用してみます。

重要例題１５
５人に招待状を送るため、あて名を書いた招待状と、それを入れるあて名を書いた封筒を作成した。招待状を全部間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

と言う状況です。

ちょっと変に思う事は、そもそも "招待状を全部間違った封筒に入れる" と言う状況を現実の生活上考える必要があるか、と言うことです。でも完全順列と言うものを Wikipedia を調べてみると意味のあることなんだなぁと、考えさせられました。

まず、完全順列を Wikipedia で見てみると下記の説明があります。

順列を置換とみると、完全順列は不動点の個数が0の置換に対応している。乱列、混乱順列ともいう。

へぇ～と言いたい感じです。それにモンモール数と言う言葉も出て来ます。ある物の並びの完全順列の個数を表す言葉として使われているようで、数学的には大いに意味があるんですね。

完全順列を直接説明するのに使われている "不動点" という単語も気になりましたので Wikipedia でみてみると、驚く説明がされていました。

x が写像 f の不動点であるとは、f(x) = x が成り立つときに言い、かつそのときに限る。たとえば f が実数全体で
$ {\displaystyle \ f(x)=x^{2}-3x+4} $

によって定義される函数ならば、f(2) = 2 であるから、2 はこの函数 f の不動点である。

これって、２次関数の解が不動点と言うことですよね？…いやいや、違いますね。解は f(x) = 0 の x の値ですからね。
とにかく場合の数の順列がこんな風に２次関数と関係してくるなんて、ちょっと楽しい気分にもなりました。

でも、この関係の深い意味は今のところチンプンカンプンです。深い意味をここのブログで解説できたりすると、皆さんに楽しんで貰えるのかなぁなんて思う次第ですが…今はそれが出来るよう、日々学習を続けるだけですね…ごめんなさい。

m( _ _)m

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