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時空 解 さんの日記

 
2019
6月 16
(日)
09:36
"分数の数列の和" に苦しみました…分部分数分解と言うテクニック
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
 
白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の数列のところを学習しているところです。昨日は p416 の基礎例題77に取り組んだんですけど…
 
分らない!
 
数列の 第 $ k $ 項の方程式は下記の通りなのですが…。
 
$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2k(2k+2) } $
 
こんな分数式をどうやってシグマ計算すりゃあいいんだい。
シグマの性質としては、足し算、引き算、をそれぞれに分けられるとか、定数の掛け算はシグマの前に出せるとかありますが、分数に関しては、そんな性質がありません。

と言うことで、この基礎例題77のヒントを見てみると… Chart & Guide にこんな事が書かれていました。
・分部分数に分解せよ。
でも私にはチンプンカンプンでした。

分部分数の分解 ???うーむ
 
で、調べてみたのですが、それでもイマイチよくわかりませんでした。
白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p34 の発展例題18が、まさにこの "分部分数分解" の問題なのですが、いきなり公式が示されてしまっています。
 
$ \displaystyle { \frac{ 1 }{ (x-a)(x+b) } = \frac{ 1 }{ b-a } \cdot \left( \frac{ 1 }{ x+a } - \frac{ 1 }{ x+b } \right) } $
 
どうやってこの公式を導けばいいのだ…汗
 
結構悩んだのですが、分部分数分解の公式を導くためのヒントとなる基礎例題が「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の中に、さらにあることを発見しました。
p20 の基礎例題9です。

参考になるサイトも見付けましたので、下記にそのサイトを示します。
分数式の恒等式と係数比較
このテクニックを使えば、数列の基礎例題77の分数を分部分数分解することが出来ます。
 
$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2k(2k+2) } $  $ \displaystyle { \frac{ a }{ 2k } - \frac{ b }{ 2k+2 } } $
 
と言う形に変形するためには、両辺に $ 2k(2k+2) $ を掛けて恒等式として係数を比較する、と言うことで $ a $ と $ b $ を求めることができます。
( 注意:$ k \neq 0, -1 $ )
 
$ 1 $ = $ a \cdot (2k+2) - b \cdot 2k $
 
上式を整理すると下記のようになります。
 
$ 0 \cdot k + 1 = 2(a-b) \cdot k + 2a $
 
$ k $ の恒等式なのだから
 
$ 2(a-b) = 0 $
$ 2a = 1 $
 
が成り立ちます。
おっと えっ!01
もうこんな時間ですね。ちょっと中途半端ですが、今日はこのへんで…
 
では今日も1日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。 

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