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時空 解 さんの日記

カテゴリー [数学検定] 
 
2020
1月 14
(火)
00:05
先日、1月11日に解いた問題、再び
本文
皆さん、こんばんは。時空 解です。
 
1月11日のブログに会員の方からコメントを頂き、解答の援助を頂きました。

私の解答は回りくどいもので、あのままの解答では 0.2 点とか、良くても 0.6 点くらいかなぁと思われるような代物ですが、コメントのおかげで1点 ( 〇 ) を頂けるような解答が書けそうです。

さっそくそれを書いてみましょう。

解く問題は下記のとおり。
----------
「記述式演習帳2級」P65の2問目ー数の桁数ー

 次の式を満たすXは、何桁の整数ですか。
ただし log10底 2 =0.3010 log10底 3=0.4771 log10底 7=0.8451 とします。
 
 X ・9の9乗・7の7乗・5の5乗・3の3乗 ÷ 10の10乗・8の8乗・6の6乗・4の4乗・2の2乗 = 1
 
(答え) 6桁
-----------


では、下記に答を書いてみます。
-----------------------------------
  与式は
$ x \times ( 9^9 \times 7^7 \times 5^5 \times 3^3 ) \div ( 10^{10} \times 8^8 \times 6^6 \times 4^4 \times 2^2 ) = 1 $

これを $ x= $ の形に変形すると
$ x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 8^8 \times 6^6 \times 4^4 \times 2^2 }{ 9^9 \times 7^7 \times 5^5 \times 3^3 } $

右辺を整理すると
$ \displaystyle \frac{ 10^{10} \times (2^3)^8 \times (2 \cdot 3)^6 \times (2^2)^4 \times 2^2 } { (3^2)^9 \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 \times 3^3 }
= \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{24} \times 2^6 \times 3^6 \times 2^8 \times 2^2 } { 3^{18} \times 7^7 \times 10^5 \times 2^{-5} \times 3^3 }
$

これを約分すると
$ x = \displaystyle \frac{ 10^5 \times 2^{45}} { 3^{15} \times 7^7 } $

ここで常用対数をとると
$ \log_{ 10 } \left( \displaystyle \frac{ 10^5 \times 2^{45}} { 3^{15} \times 7^7 } \right ) $

$ = ( \log_{ 10 } 10^5 + \log_{10} 2^{45} ) - ( \log_{10} 3^{15} + \log_{10} 7^7 ) $

$ = ( 5 \cdot 1 + 45 \cdot 0.3010 ) - ( 15 \cdot 0.4771 + 7 \cdot 0.8451 )$

$ = 5.4728 $

を得る。
従って $ x = 10^{5.4728} $ となり、$ x $ の整数部は6ケタだと分る。  答:6ケタ
-----------------------------------

こんなところでしょうか?

これならきっと1点中の1点を頂けるのではないでしょうか?

おっと えっ!01

もう夜の12時を回ってしまいましたね。この辺で寝る事にします。

ではまた明日…。

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