証明　$ (a,~b) = g,　(b,~r) = h $ とおいて、実は $ g = h $ であることを示しましよう。
　$ a,b $ は $ g $ の倍数なので、自然数 $ a',b' $ を用いて、
　　　　　$ a = a'g,~b = b'g …(1) $
と書くことができます。
　$ a $ を $ b $ で割った商を $ q $ とします。余りが $ r $ ですから、
　　　　　$ a = qb + r …(2) $ 　　これより、$ r = a - qb $
これに $ (1) $ を代入して、$ r = a'g - qb'g = (a' - qb')g $
となり $ r $ も $ g $ を約数として持ちます。もともと $ b $ は $ g $ を約数として持ちますから、$ g $ は $ b $ と $ r $ の公約数です。公約数は最大公約数以下ですから、
$ g \leqq h $ です。
　また、$b,　r $ は $ h $ の倍数なので、自然数 $ c',　r' $ を用いて、
　　　　　$ b = c'h,　　r = r'h $
と書くことができます。$ (2) $ にこれを代入して、
　　　　　$ a = qb + r = qc'h + r'h = (qc' + r')h $
　$ a $ は $ h $ を約数に持ちます。$ b $ はもともと $ h $ を約数に持ちますから、$ h $ は $ a $ と $ b $ の公約数です。公約数は最大公約数以下なので、$ g \geqq h $ です。
　$ g \leqq h $ かつ $ g \geqq h $ が示されたので、$ g = h $ です。
(証明終わり)

数学の証明って、いったい何でしょうね？分からない数式を示してくれるものではないの？　

数式に慣れていないと証明を見ても納得できません。それよりも正方形の絵を描いてみた方が納得のゆく理解が出来ます。

証明って物事の関連性を表した数式が、正しい、あるいは事実である、と言うことを明らかにすることですよね？
でも自分で絵を描いた方が納得できることの方が多いと思いませんか？有名なピタゴラスの定理、直角三角形の斜辺と他の２辺との関係式 $ r^2 = a^2 + b^2 $ 。この証明も図を用いならが証明がなされなければ理解に苦しむのではないでしょうか？

証明そのものから、イメージがどれだけ出来るか！それが数学のセンスと言われればそれまでです。
数学の学習を進めると、このセンス？、イマジネーションが獲得できるんでしょうかねぇ…。

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千里の道も一歩から。そしてその道は登り坂です。ローマは１日にして成らず、です。

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