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Home  >  ブログ  >  時空 解  >  数学検定  >  $ a_n = 3a_{n - 1} $ と $ S_n = 3S_{n - 1} $ の違い、やっと払拭できました

時空 解 さんの日記

 
2021
3月 21
(日)
09:48
$ a_n = 3a_{n - 1} $ と $ S_n = 3S_{n - 1} $ の違い、やっと払拭できました
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

今日は以前、3月18日に取り上げた誤植を含んだ問題「実用数学技能検定要点整理2級 (以降、テキスト)」に付いて、再び書いてみます。
今回は誤植ではなく問題の内容に付いての感想です。

まずはその問題を下記に示します。テキスト  p135、応用問題2(2次問題)
初項が $ 1 $ の数列 $ \{a_n \} $ について、初項から第 $ n $ 項までの和 $ S_n $ が、
   $ S_n = 3S_{n-1} $    $ ( n=2,~3,~4,~ … ) $
を満たすとき、次の問いに答えなさい。
(1) $ S_n $ を求めなさい。
(2) $ b_n = \displaystyle \frac{ a_{n+1} }{ a_n } $ で定められる数列 $ \{ b_n \} $ について、初項から第 $ n $ 項までの和を求めなさい。
この問題、本音を申しますと3月18日の時点では答を見てもどうにも違和感に襲われて、答を受け入れられなかったんですよね。

でも今日はやっと、その違和感が払拭できました。
どんな違和感かと申しますと表題の通り

・$ a_n = 3a_{n - 1} $ と $ S_n = 3S_{n - 1} $ との違い

です。

皆さんは $ S_n $ が $ a_n = ( $ 数式 $ ) $ の前に出てくると違和感を感じたりしませんか? ( ^^;
$ S_n $ は数列の和を表す記号ですので、その前提となる数列 $ \{ a_n \} $ が先に示されていない事にまず ? 状態に襲われます。

確かに問題文の出だしに
「初項が $ 1 $ の数列 $ \{a_n \} $ について…」とありますが、その後に $ S_n $ が出て来ますからね。これに頭の中が対応出来なかったのです。
$ a_n = 3a_{n - 1} $
を見れば、$ \{ a_n \} $ は公比が $ 3 $ の等比数列だなぁとは予想が付きますが、
$ S_n = 3S_{n - 1} $
ですからね。
「えっ? 和をさらに3倍…?」ここで頭の中が真っ白…

で、今日の朝にテキストの解き方 (解答) に載っている $ a_n = 2 \cdot 3^{n - 2} $ の式を使って数列 $ \{a_n \} $ から $ S_n $ を算出してみたんです。
それでようやく腑に落ちたんです。結果は下記のようになります。

$ a_1 = 1 ~~$     $ S_1 = 1 $
$ a_2 = 2 ~~$     $ S_2 = 3 $
$ a_3 = 6 ~~$     $ S_3 = 9 $
$ a_4 = 18 ~$     $ S_4 = 27 $
$ a_5 = 54 ~$     $ S_5 = 81 $
$ a_6 = 162 $     $ S_6 = 243 $

今まで私の頭の中では $ \{ a_n \} $ ありきの $ S_n $ でしたからね。この逆もありなんですね。うーむ01

この問題は $ S_n - S_{n-1} = a_n $ を数学的に利用できるかを問う問題なんでしょうかね…私は使いこなせなかった訳です。
いやはやお恥ずかしい…。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
閲覧(122)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/3/22 9:49  更新日時: 2021/3/22 9:49
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2170
 RE: $ a_n = 3a_{n - 1} $ と $ S_n = 3S_{n - 1} $ の違い、やっと払拭できました
安藤商会さん、いつもコメントありがとうございます。

頑張っていますね。私も今は、漸化式にハマっていてジタバタしているところです。

過去問を解く気持ちの余裕もない私ですが、もう本当に過去問を解いて手応えを見てみる時期ですよね。

お互いに前向きで行きましょう。

では、今日もコメントありがとうございます。( ^^).
安藤商会
投稿日時: 2021/3/21 13:35  更新日時: 2021/3/21 13:35
常連
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 54
 RE: $ a_n = 3a_{n - 1} $ と $ S_n = 3S_{n - 1} $ の違い、やっと払拭できました
'
こんにちは。

確かにこの問題は、私も出題意図が分からないですね。

「問題の為の問題」でしょうかね。

2次検定の問題みたいですが「重要」の表記がありませんので、時間を掛けて取り組む必要は、あまり無いのかもしれませんが…。

「テキスト要点整理」の中の「重要」の表記がある問題は、実際に検定で出題される可能性が高いですから、検定本番直前には復習は必須ですね。

早いもので、お互い3週間後の今日(日曜日)には個人検定ですね。

私の方は「1次検定合格」が目標でしたが、すでに「諦めモード」です…。

たとえ不合格でも「0点不合格」だけは避けたいものです。

実際、直近の検定過去問が欲しいですよね(泣)

数検協会が出している「過去問集」は、古いものばかりですから。

毎年更新しろとは言わないですが、せめて2年ごとに更新して欲しい。

2021年度検定が始まる直前の現在なら、「2019年度・2020年度」版の「過去問集」が欲しいものです。

個人検定だけでも年に3回行われていますので、2年で6回分の「1次・2次問題」が収録できると思います。

実際には、「団体検定」「提携会場検定」も合わせると、1年毎に「過去問集」を発刊するのも可能と思われます。

書籍として発行するのが難しいなら、検定で実際に使用した「問題と模範解答のセット」を「1回分¥500~1000-」くらいで販売して欲しいくらいです。

検定本番に使用された、できるだけ新しい過去問(←変な表現ですが)に取り組む事が、一番効果的な検定対策だと思われますからね。

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