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時空 解 さんの日記

 
2023
3月 16
(木)
11:55
決め事に隠された数学の本質…朝からネイピア数 $ e $ の解説動画を視聴してます
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

対数の学習を進めている今日この頃ですが…ふと疑問に思う数が出てきました。青チャート数学IIの基本例題に出てくるのですが

$ \log_{ 0.5 } 3 \fallingdotseq -1.584962501 $

これって、
「どうしてマイナス値になるの?」
と思ったんです。

指数表記にすると

$ (0.5)^x = 3 $

の $ x $ 値です。
この $ x $ がどうしてマイナス値になるのか…実はこれ、"決め事" から来てるんですよね。うーむ01

どんな "決め事" だったかというと、指数の割り算のところで出てくる "決め事" で、下記に示しておきます。

 
$ a^m \div b^n $ を考える
・$ m \gt n $ のとき   $ a^m \div b^n = a^{m - n} $ が成立する。 

この $ m - n $ を利用すると

・$ m = n $ のとき    $ a^m \div b^n = a^{m - n} = a^0 $ となる。

この $ a^0 $ は例えば $ a^5 \div a^5 = a^0 $ からわかるように $ a^0 = 1 $ と定めると $ m \gt n $ と一致させることができる。

これと同様に $ m - n $ を利用するため

・$ m \lt n $ のとき   $ a^m \div b^n = a^{m - n} = \displaystyle \frac{ 1 }{ n - m } $

であるが、これを $ a $ のマイナスの累乗と定めると $ m $ と $ n $ の大小関係にかかわらず

$ a^m \div b^n = a^{m - n} $

とすることができる。


この決め事により、$ (0.5)^x = 3 $ の $ x $ の値がマイナス値になるんですよね。

一般的な解説ではよく、
「対数関数 $ y = \log_{ a } x $ のグラフは、指数関数 $ y =a^x $ のグラフと、直線 $ y = x $ に関して対称である」
なんて説明されています。

でも改めて $ \log_{ 0.5 } 3 $ を求めるために指数表記にしてみると

$ (0.5)^x = 3 $

で、なんだか $ x $ が負の数だなんてイメージ出来ないですよね…私だけかな?

まぁとにかく私が $ x $ が負の数だとイメージできなかった理由は

・上記のような対数の割り算における便宜上の "決め事" で負の数としているから

と思いたいです。

そして、この "決め事" が重要なんだと言うこともだんだんと分かってきました。うーむ01

ネイピア数 $ e $ の定義っていうのも、今日の朝に知ったんですが
「微分しても変わらない数」
なんですね。

掛け算の単位元は $ 1 $
足し算は $ 0 $
そして微分 $ f'_{(x)} = f_{(x)} $ となる $ x $ が $ e $ で…

うーむ…

・eの正体とは?数学の定数ネイピア数と自然界の法則


では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )
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