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時空 解 さんの日記

 
2021
8月 22
(日)
09:45
ファインマン物理学 第1巻 第4章 エネルギーの保存 4-4 エネルギーの他の形 (整理完了)
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

今日は時間もなくなってしまいましたので、整理のみ追記することにします。
 

第1巻 第4章 エネルギーの保存 4-4 エネルギーの他の形
・弾性エネルギーをかんがえよう

バネをひっぱり下げるには仕事をしなければならない。
引き下げられたバネはそのことによっておもりをひき上げることができるのである。
バネがのびた状態ではこれから何か仕事をする能力をもっている。しかし、おもりの重さとそれをどこまで上げられるかという高さとの積を求めて、加え合わせたのでは、バネのもっている能力とあわない。
バネがのびているということを考えに入れた何か他の項をつけ加えなければならないのである。

・バネの運動は、しばらくつづいてからやがて消耗する - さてさて! 我々は小さなおもりをのせてものを動かすとか器械は可逆的だとか、あるいは器械は永久に動くとかなどといってこれまで話のつじつまをあわせてきた
・ものは結局はとまってしまうのである
・バネが上下運動をやめたら、エネルギーはどこへいったのか

これがまたエネルギーの他の形になるのである:熱エネルギーがこれである。

(整理1日目はここまで)

大きなスケールで我々が実験するときにであう困難の一つは、エネルギー保存を実際に示すこともできないし、可逆器械をつくることもできないということである。というのは、おおきな物体を動かせば、原子も絶対に不動ではなく、ある勝手な大きさの運動が原子系におこってくるのである。それは目にはみえないが、温度計などで測ることができる。

・他にもいろいろの形のエネルギーがある。例えば電気エネルギーがある。 - これは電荷の斥力や引力に関係したものである
・また輻射エネルギー、光のエネルギーなどがある

光は電磁場の振動としてあらわされるのだから、これは電気エネルギーの一つの形であることがわかっている。

・また化学エネルギーがあって、これは化学反応によって放出される
・弾性エネルギーもある程度化学エネルギーに似ている点がある

化学エネルギーは原子間の引力のエネルギーであり、弾性エネルギーもそうだからである。
我々が現在理解しているところによれば、化学エネルギーには二つの部分がある。一つは原子のなかの電子の運動エネルギーであり、他は電子と陽子との相互作用の電気エネルギーである。一部分は運動的であり、残りは電気的なのである。

・他には原子核エネルギーがある。これは原子核の中における粒子の配列によるエネルギーである。このエネルギーの表現はわかっているのだけれども、その基本的法則はわかっていない。電気的でもなく、重力的でもなく、また純化学的でもないことはわかっているが、それが何だかはわかっていない。エネルギーの何か別の形であるらしい
・最後に、相対性理論に関連して、運動エネルギーは、質量エネルギーという別のものと結びつくのである。一つの物体は、それがただ存在するということのために、エネルギーをもっているのである

二つのものを消滅されると、ある量のエネルギーが得られる。この式はアインシュタインによってはじめて求められた。
$ E = mc^2 $

・エネルギー保存の法則は、ものごとを分析して考えていく上でたいへん有用である。
・エネルギーのすべての種類に対する式が全部わかっていたとすると、細かいところに立ち入らないでも、何種類の現象がありうるかということを知ることができる
・物理学には、エネルギー保存に似た保存則が他に二つあるのである

一つは線運動量の保存。
もう一つは、角運動量の保存。

(整理2日目はここまで)

・我々は保存則を深く理解したとはいえない。エネルギー保存を理解してはいない。我々はエネルギーとは非常に小さな粒つぶの数だとは理解していないのである
・光子は粒子としてあらわされる

光子一つのエネルギーは、ブランクの定数と周波数とをかけあわせたものである。しかし光の周波数は何でもよいのだから、エネルギーは一つの決まった量でなければならないということはない。
腕白デニスの積木とちがって、エネルギーの量はどんな大きさでもよい。

・エネルギーというのは一つ二つと数えられるものではなく、一つの数学的量であって、抽象的でむしろ不思議なものなのである
・量子力学によると、エネルギーの保存ということは、自然現象は、絶対年代に関係しないという、自然界のもう一つの重大な性質と非常に密接な関係をもっているのである

ある時刻に一つの実験をやってみる。そして後になって同じ実験をもう一遍やってみる。そうすると全く同じことが起こる。このことが厳密にほんとであるかどうかは、我々は知らない。かりに、それがほんとであると仮定して、それに量子力学の諸原理をあわせて考えると、エネルギー保存の原理が出てくるのである。
これはやや捉え難くかつ興味のあるところであって、説明するのは容易ではない。

・運動量の保存は、量子力学においては、どこで実験をしてみても結果は同じであるという仮定と結び付いている
・場所によらないということと運動量保存との関係は、時刻によらないということとエネルギー保存との関係に似ている
・実験の装置をまわしても、現象には何のちがいも生じない。このようにどちら向きにしても自然界は不変だということと角運動量の保存と関係しているのである
・これらの他に保存則はまだ三つある。今日のところではこれは精確になりたち、理解するのがずっと簡単である

第一は、電荷の保存 - プラス電荷の数からマイナス電荷の数をひいて、それがいくつあるかを数えると、その数は決して変化しないというのである。
第二は、重粒子の保存 - 自然界でどんな反応が起こっても、結局の重粒子の数 (反重粒子は、-1個の重粒子と数える) ははじめと全く同じなのである。
第三は、軽粒子の保存 - ある反応における軽粒子の総数を数えると、はじめにあった数とおわりにある数とはいつも同じで決して変化しない。

・保存法則は六つあるわけだが、そのうち三つは、空間や時間が入ってきて捉えにくいが、他の三つは何かを数えるというのだから簡単である
・我々は、エネルギーは保存するという事実を知ってはいるけれども、人間の利用にたえるエネルギーは、そうやすやすとは保存しないのである
・どれだけのエネルギーが使えるかということを支配する法則は、熱力学の法則であって、それには非可逆熱力学過程のエントロピーという概念が入ってくる

・今日のエネルギーの供給源はどこに求められるかというと、まず太陽である
・我々はウランからエネルギーを得た:水素からもエネルギーが得られる

しかし今日のところではそれは爆発的な危険な条件の下でしか得られない。
我々は常にエネルギーを求めているのだか、どのようにしたら我々はその要求から解放されるか、このことを考えるのは、物理学者の双肩にかかっている。
そしてそれはできることなのである。


これで第4章まで終了しました。ここまでの感想などは明日にでも書こうと思います。


では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

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閲覧(277)
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投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/8/24 9:08  更新日時: 2021/11/11 8:28
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2581
 RE: ファインマン物理学 第1巻 第4章 エネルギーの保存 4-4 エネルギーの他の形 (整理完了)
安藤商会さん、いつもコメントありがとうございます。

遅くなりました。すみません、家の後ろの軒下に足長バチの巣が出来ていたもので… 

最終的に、市役所に電話をして、駆除できる業者さんを紹介してもらい、今日の17時にやっと処置をして頂いたところです。

「立派なハチの巣が出来てますね」
と、褒められました。( ^^;

ところで、確かに自分の意志で学習ができるということは幸せなのかも知れませんね。改めてこのことを心に留めておこうと想ったしだいです。

さて、参考になる問題を2つ、ありがとうございます。
自分なりに解答を書いてみますね。


      数検準1級1次 第3問
      $ S_n = \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ n } 3^k $ とします。次の和を求めなさい。
             $ \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ 6 } S_n $



まずこの問題のポイントは「シグマ計算の公式は使えない」と判断するところでしょう。
次のポイントは、$ \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ 6 } S_n $ が表す計算は、どんな形か? それをイメージできるか否かの問題だと思いました。

この問題には $ S_n = \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ n } 3^k $ と、$ 3^k $ がありますからね。これが $ 3^{k-1} $ であれば公式

$ \displaystyle \ \large{ \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a ( 1-r^n ) }{1-r} = \frac{a ( r^n – 1 ) }{r-1}  } $

が利用できますが、$ 3^k $ なので、利用しようと想うと、ハマります。
それよりも、$ \displaystyle \sum_{ n = 1 }^{ 6 } S_n $ を書き出してみたほうが見通しが出てくると思います。

$ \displaystyle {\sum_{ n = 1 }^{ 6 } S_n} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 $ ですよね。
この6個の項、$ S_1,~ S_2,~ S_3,~…~ S_6 $ を1つ1つを書き出すと

$ S_1 = 3^1 $
$ S_2 = 3^1 + 3^2 $
$ S_3 = 3^1 + 3^2 + 3^3 $
$ S_4 = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 $
$ S_5 = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 $
$ S_6 = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 $

となります。そうすると、$ S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 $ は上記の6個の足し算式を縦に足すと綺麗な形になるのが見てとれますよね。

   $ 6 \cdot 3^1 + 5 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^5 + 1 \cdot 3^6 $
  $~=~18~+~45~~ +~108~~ +~243~~ +~486~+~729 $

ここまで書き出せば、後は丁寧に足し算をするだけです。見直しもし易いでしょう。


個人的に難しかったのは次の問題の方でした。

解いて見て、私も
「xの値をtanθに戻し不等式にする段階で、どう処理して良いのか?分からなくなってしまいました(泣)」
状態でしたよ。( ^^;

自分なりに答えを導き出しても、正しいか否か不安ですよね。_| ̄|○ 
こんな状態ですが、とりあえず解答を書いてみます。



       数検準1級1次 第1問
       $ 0 \lt \theta \lt \pi $ のとき、次の不等式を満たす $ \theta $ の値の範囲を求めなさい。
       $ \sqrt{ 3 } \tan^2 \theta + ( \sqrt{ 3 } - 1) \tan \theta - 1 < 0 $ 


この問題は、定石を知っていれば $ \tan \theta $ の値までは直ぐに導き出せますよね。
$ \sqrt{ 3 } \tan^2 \theta + ( \sqrt{ 3 } - 1) \tan \theta - 1 = ( \sqrt{ 3 } \textcolor{red}{ \cancel { \textcolor{black}{ \tan^2 }}} \tan \theta - 1 )( \tan \theta + 1 ) $ …(2021-11-11、修正)
ですから
$ ( \sqrt{ 3 } \textcolor{red}{ \cancel { \textcolor{black}{ \tan^2 }}} \tan \theta - 1 )( \tan \theta + 1 ) = 0 $ の時の値を導くと …(2021-11-11、修正)
$ \displaystyle \tan \theta = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } },~ -1 $

さて、ここからが問題です。

問題の解答を分かり易くするために、$ \tan \theta = $ (縦軸) としてみましょう。

与式の2次不等式は $ \sqrt{ 3 } ( $ 縦軸 $ )^2 + ( \sqrt{ 3 } - 1) ( $ 縦軸 $ ) - 1 $ だから、下に 凸 の双曲線グラフです。ですから
$ -1 \lt $ (縦軸) $ \lt \displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{ 3 } } $

ですね。

ここで、$ \tan \theta $ と $ \theta $ の関係を表すグラフ上に、上記の結果を書き込んでみました。
それを示したのが右図です。

縦軸に $ \tan \theta $ の値、横軸が $ \theta $ です。
これが書けるか書けないか?
ちゃんと分っているか?

ですよね。

横軸の範囲は、問題によって定められています。黄色の部分ですね。
縦軸が $ \tan \theta $ 。つまりこの縦軸のブルーの範囲が2次不等式の解の範囲です。(2021-08-24夜、修正)

$ \tan \theta = \displaystyle \frac{y}{x} $ であることは分かっていても、
・$ y $ と $ x $ のプラス・マイナスと $ \theta $ との関係。
・$ \tan \theta $ のプラス・マイナスと $ \theta $ との関係。

この2つが時として混乱を招きます。

右図が書ければ、後はグラフの「丸1」と「丸2」のところの $ \theta $ の範囲が答になることがわかるでしょう。



いやはや、この2つの問題。ちょっと時間が掛かってしまいました。
さすがに準1級の問題です。お返事が遅くなってしまってすみませんでした。

勉強になる問題をありがとうございます。

ではでは。( ^^).

 
安藤商会
投稿日時: 2021/8/22 13:59  更新日時: 2021/8/22 13:59
長老
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 236
 RE: ファインマン物理学 第1巻 第4章 エネルギーの保存 4-4 エネルギーの他の形 (整理完了)
'
こんんちは。

『・エネルギーというのは一つ二つと数えられるものではなく、一つの数学的量であって、抽象的でむしろ不思議なものなのである。』

ここだけ取り上げると、結局は何も言っていないようでもあります…。

『運動』『時間』や『力』『仕事』をいった、物理学では普通に出てくる言葉にしても、一つ一つの定義を追求していくのは、とても大変な作業ですよね。

考えるだけで気が遠くなります…。

さて、昨日届いた数検の採点表から、「✖」がついた問題を見直してみました。

問題3
「 Sn = n=1Σn 3^k 」とします。次の和を求めなさい。
「 n=1Σ6 Sn 」

Sn が等比数列 3^k の級数で、そのSnを数列として、初項から第6項までの和を求める問題です。

2級2次検定では、選択問題として出題されそうな問題です。

解答は「1629」なのですが、問題用紙に残ったものを見てみると、私は「1647」と回答したようです。

このような出題は、充分に時間を掛ければ解ける類の問題ですし、回答を見直せば検算で正解なのかも分かりますからね。

実際に数値を並べて足し算すれば、Σの計算ができなくても解けます。

やはり、検定本番で出題されると計算ミスをしますし、検算までしている時間もありませんね。

この問題は、2級2次で出題されたら「関数電卓のΣの計算機能」を上手く使えば、解けるのかもしれませんね(笑)

問題1
「 0 <θ<π 」のとき、次の不等式を満たすθの値の範囲を求めなさい。
「 √3 tan^2θ + (√3 - 1)tanθ - 1 < 0 」

解答は「 0 < θ < π/6 、3/4π < θ < π 」です。

この出題も2級2次検定で、選択問題として出題されそうですね。

実は…検定当日、1問目のこの問題で15分以上も時間を使ってしまったのです(汗)

結局は間違えてしまい「✖」でした。

tanθをxと置換して、ただの2次式にすればすぐにxの値は求まるのですが…。

この「すぐに解けそう…」が、私には『罠』でしたね。

xの値をtanθに戻し不等式にする段階で、どう処理して良いのか?分からなくなってしまいました(泣)

「tanθの値が、大きいとか小さいって…。どう言う事なんだろうか???」

私は「tanθ=傾き」をしっかり理解できていなかったようです。

「複素数平面」の出題もやはり「✖」でしたね。この分野はまだ未消化ですので想定内です(笑)

私には「複素数平面」を理解するには、まだまだ時間がかかりそうです。

一週間後には、お互いに提携会場で受験ですね。

コロナの影響で試験や検定が、いつ「延期・中止」されるか分かりませんからね。

そのせいで、私の周りにも「無理やり」に職場から、資格試験や検定試験を受けさせられている者もいます。

私の兄弟が務める職場でも、部署の者全員が「劇物」の国家試験に会社から強制的に申し込みさせられたそうです。

受験を拒否した者は「降格・減給」だそうで、現在必死に勉強しておりますね。

兄弟はついこの前「危険物乙四」試験(これも強制)に受かったばかりなのに、休む暇もなく次の試験勉強をしていますので、少しかわいそうな気もしますね。

それに比べれば、私達は自分の意思で「数検」を受験していますからね。

幸せな事だと思います。

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