ページのトップにスクロール

Home  >  ブログ  >  時空 解  >  数学  >  青チャート式数学Aの「基本例題129」の私なりの解答・解説

時空 解 さんの日記

 
2021
9月 9
(木)
09:44
青チャート式数学Aの「基本例題129」の私なりの解答・解説
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

昨日の朝はブログの投稿が出来なくてすみませんでした。m( _ _ )m (どうやら右の親指に痛風が出来たみたいで、痛い… ううっ)

今日はやっと、青チャート式数学Aの「基本例題129」の整理が付きましたので、さっそく書いて行きたいと思います。

問題は下記のとおり。(チャート式数学の解答も右画像参照)
「基本例題 129」
$ 3 $ で割ると $ 2 $ 余り、$ 5 $ で割ると $ 3 $ 余り、$ 7 $ で割ると $ 4 $ 余るような自然数 $ n $ で最小のものを求めよ。

この問題は、以前にも投稿しましたが (青チャート式数学Aの「基本例題129」でハマったところ) 下記の3つほどがポイントになるでしょう。悩んだ点でもありました。

1, 自然数 $ n $ を数式で表す
2, 不定方程式 $ 3x - 5y = 1 $ から $ 3(x -2) - 5(y -1) = 0 $ と言う式変形の考え方、意味
3, 不定方程式 $ 7z - 15k = 4 $ の整数解の一つを $ z = -8,~k = -4 $ ではなくて  $ z = 7,~k = 3 $ を使うと、$ l = 1 $ としても $ n $ が最小値にならない

この3点を押さえながら、これから問題を解いて行きたいと思います。

では、さっそく… うーむ02   と、行きたいところですが…。

ちょっと待って下さいね。にっ

より解法を理解するため上記の3つのポイントを押さえながら、まずは "類似した問題" を解いてみましょう。

類似問題の例として、下記の問題を使います。
 
「類似問題:L.C.M. 問題」
$ 3 $ でも $ 5 $ でも $ 7 $ でも割り切れる自然数 $ n $ で最小のものを求めよ。

この問題は中学1年生レベルの問題だと思います。問題と言うよりは、最小公倍数 (L.C.M.) と言うことを知っているか否か、を試す問いに近いですよね。

$ 3 $ も $ 5 $ も $ 7 $ も素数で、互いに素、ですから

$ 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot = 105 $   答:$ n = 105 $

これが答なのですが、先の3つのポイントを押さえながら解いて行くとどうなるか、一緒に考えてみましょう。
 
まずは求める最小の自然数 $ n $ について3つの方程式を立てます。

$ n = 3x $  …(1)
$ n = 5y $  …(2)
$ n = 7z $  …(3)

(1) と (2) より、不定方程式を作ります。
$ 3x = 5y $ …(a)

上式 (a) が成り立つ整数解の組を考えてみましょう。

$ (x,~y) = (5,~3)、(10,~6)、(15,~9)、(20,~12)、(25,~15)、(30,~18) $ …

整数解の組は複数あることがわかります。(下図 数直線の黒楕円で囲ったところ)


(1) の数式に対応する数直線は3本中の一番下。オレンジ色の点が3の倍数のを示す。
(2) の数式は真ん中の線で、ブルー色の点が5の倍数を示す。
(3) の数式は一番上の線で、グリーン色の点が7の倍数を示す。

整数解の組は、言うまでもなく「オレンジ色の点」と「ブルー色の点」が縦に並ぶところです。
これは $ 3 $ と $ 5 $ が互いに素であるからに他なりません。

$ k $ を持ち出して整理すると、
(a) $ 3x = 5y $ は、$ 3 $ と $ 5 $ が互いに素なので、
$ x = 5k $  ($ k $ は整数)
と表すことができる。

また、数式 (1) と (3) より
$ 3x = 7z $ であるから
$ 3 \cdot 5k = 7z $
$ 15k = 7z $     …この式の意味が大切です。
           $ 0 $ から $ 105 $ の間に "楕円" で区切られている区間の数が7つ。
           7倍を示す "グリー色の点" で区切られている区間の数は15なんです。

次に、上式に対して $ l $ を持ち出して整理すると、
$ 15 $ と $ 7 $ が互いに素なので、
$ z = 15l $  ($ l $ は整数)
と表すことができる。

こんどは 数式 (3) $ n = 7z $ に $ z = 15l $ を代入して
$ n = 7 \cdot 15l $
$ \therefore n = 105l $
問題は $ n $ が自然数で最小のものを求めているので $ l = 1 $ が妥当である。

答:$ n = 105 $


さて上記の解答を読んで頂いた感想は、如何なものでしょうか? うーむ
私の感想は、また後にするとして…

ここから本題に入りましょう。
「基本例題129」を同じように解いて行きましょう。考え方としては「類似問題:LCM 問題」の解法に比べ "余り" が入ってくることです。
 
まずは求める最小の自然数 $ n $ について3つの方程式を立てます。

$ n = 3x + 2 $  …(1)'
$ n = 5y + 3 $  …(2)'
$ n = 7z + 4 $  …(3)'

(1)' と (2)' より不定方程式を作ります。
$ 3x + 2 = 5y + 3 $  これを整理して
$ 3x - 5y = 1 $  …(a)'

ここで得られる数式 (a)' が不定方程式なのですが、下図を参照してみてください。


(a)' の右辺 " $ 1 $ " は、どうやら上図の "赤楕円" の部分を表していると解釈できます。
「類似問題:LCM 問題」の数直線と見比べてみると、本題の「基本例題129」の数直線は、"余り" の数だけ右 (+方向) にずらしたものとして描けますよね。

(1)' の数式に対応する数直線は3本中の一番下。数直線の始まりが $ 2 $ 。オレンジ色の点が $ 3x + 2 $ を示す。
(2)' の数式は真ん中の線で、数直線の始まりが $ 3 $ 。ブルー色の点が $ 5y + 3 $ を示す。
(3)' の数式は一番上の線で、数直線の始まりが $ 4 $ 。グリーン色の点が $ 7x + 4 $ を示す。

こうして描くと、(a)' の不定方程式の整数解が、数直線上でどこなのかイメージできると思います。「類似問題:LCM 問題」のときと同じく、「オレンジ色の点」と「ブルー色の点」が縦にそろうところです。

黒楕円で示したところですよね。こんにちは

数直線の始まりから黒楕円のところまで、それぞれの点で区切られた区間はいくつあるでしょうか?
オレンジの点で区切られた区間の数は $ 2 $ から最初の黒楕円のところまでなら2つ。次の黒楕円までなら7つ。その次までなら12…
ブルーの点で区切られた区間の数は $ 3 $ から最初の黒楕円のところまでなら1つ。次の黒楕円までなら4つ。その次なら7…

これより (a)' の不定方程式の整数解は

$ (x,~y) = (2,~1)、(7,~4)、(12,~7) $ …

と予想が付くでしょう。そしてこれは正しい整数解の組です。

(a)' に小さい整数解の組 $ (x,~y) = (2,~1) $ を適用して、
$ 3(x-2) -5(y-1) = 0 $ つまり
$ 3(x-2) = 5(y-1) $
を得ます。

ここで $ k $ を持ち出して整理すると…
$ 3(x-2) = 5(y-1) $ は、$ 3 $ と $ 5 $ が互いに素なので、
$ (x-2) = 5k $
$ x = 5k + 2 $  ($ k $ は整数)
と表すことができる。

また、数式 (1)' と (3)' より
$ 3x + 2 = 7z + 4 $ であるから
$ 3 \cdot (5k + 2) + 2 = 7z + 4 $
整理すると
$ 15k -7z = -4 $  …(b)' 


この (b)' が2つ目の不定方程式となります。
$ -4 $ の意味は、先ほどの (a)' の不定方程式のときと同様、上図の "手書きの赤楕円部分" と解釈できます。黒楕円と $ 7z + 4 $ の数直線の先頭との差、ですよね。

(b)' も (a)' と同様のやり方で整数解の一つを求めることができます。
(b)' の整数解の一つ一つは、グリーンの点と黒楕円が縦にならぶところです。"緑楕円" で示しておきました。ここが (b)' の整数解の一つです。

数直線の先頭の "手書きの赤楕円部分" から "緑楕円" のあいだにある、黒楕円で区切られた区間の数は $ 3 $。
数直線の先頭の "手書きの赤楕円部分" から "緑楕円" のあいだにある、グリーンの点で区切られた区間の数は $ 7 $。

このことより
$ (k,~z) = (3,~7) $ を得ます。(b)' にこれを適用して、
$ 15(k-3) - 7(z-7) = 0 $
$ 15(k-3) = 7(z-7) $

ここで $ l $ を持ち出して整理すると…
$15 $ と $ 7 $ は互いに素なので
$ z-7 = 15l $
$ z = 15l + 7 $  ($ l $ は整数)
と表すことができる。

数式 (3)' $ n = 7z + 4 $ に $ z $ を代入して
$ n = 7 \cdot (15l + 7) + 4 $
$ \therefore n = 105l + 53 $
問題は $ n $ が自然数で最小のものを求めているので $ l = 0 $ が妥当である。

答:$ n = 53 $


こうして「基本例題129」を解答しなから「類似問題:LCM 問題」を想うと、
「中学の時には "省略した形での解答" しか学んでいなかったのだなぁ…」
と言う感想を持った次第です。と言うのも

「$ 3 $ も $ 5 $ も $ 7 $ も素数で、互いに素だから、3つの最小公倍数が答」
と言う考えのもとに下記の数式

$ 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot = 105 $

これをもって、答えとしてたんですからね。

高校生レベルで「類似問題:LCM 問題」に、記述式で答えるなら (1), (2), (3), (a) の、4つの数式を記述するべきだろうと思う次第です。

でもね…。

5つの数式をちゃんと記述したところで、未だに
「 $ l = 1 $ または $ l = 0 $ 問題」
を解消する記述ができている訳ではありません。「妥当である」の文言で逃げてます… ( ^^;

高校レベル (1次不等式の応用) の範囲でできる記述はここまで! と、想うしかないかなぁと解釈している次第です…。

ともかく、基本例題129を分かり易く説明しようと想ったのですが…これが大変でした。

整数論の数学の書籍はどうにも
「分から難い。説明が不足している」
と言う印象を持つものばかりなのですが、自ら説明を試みることで、その大変さを理解しました。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

【今日の記事を評価して頂けましたら、下記をクリックしてね。Amazon サイトで関連書籍が見れます (アフィリエイトにご協力をお願いします) 】
   ♪ - クリックのみでも充分に嬉しいです - ♪
       ------------------------------    
閲覧(57)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/9/9 22:45  更新日時: 2021/9/9 22:45
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2455
 RE: 青チャート式数学Aの「基本例題129」の私なりの解答・解説
こんばんは、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

あっと、…そうでしたか。

安藤商会さん > 「 l=1 または l=0 問題 」とは、一体何が「問題」なのか分かりません…(汗)

ではまたやってしまったようです、私の早とちりでした。( ^^;

さて、ご紹介して頂いた三石・数学塾ですが、なかなかいい問題が揃っているようすですね。ちょくちょく観てみますね。

『剰一術(じょういちじゅつ)』の解説が載ってないのが残念ですかね。( ^^;   うーむ…分からない。

でも楽しいブログのご紹介、ありがとうございます。

ではでは。( ^^).   ( やっと親指が動かせるようになってきました )
安藤商会
投稿日時: 2021/9/9 19:23  更新日時: 2021/9/9 19:23
長老
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 175
 RE: 青チャート式数学Aの「基本例題129」の私なりの解答・解説
'
こんにちは。

痛風でしたか、てっきり「コロナかな…」と思いました。

先日、数ヶ月ぶりにあった知人から「実はこの前、コロナに掛かっていた…」と言われ、コロナも他人事ではないなと実感していましたので。

さて…。

『 5つの数式をちゃんと記述したところで、未だに「 l=1 または l=0 問題 」を解消する記述ができている訳ではありません。 』

とありますが、そもそも私には「 l=1 または l=0 問題 」とは、一体何が「問題」なのか分かりません…(汗)

「不定方程式」と言うくらいですから、最初に見つかる(X・Y)の解の組は無数にあり、解答者各自が使用する方法により見つかる組は違ってくると思います。

見つけた解の組で式を立てるのですから、出題の最後に『 自然数 n で最小のものを求めよ。』と書かれている以上、その式で条件に合う「 l 」の値を探すしかないのでは…?

「 …自然数 n で3桁最大のものを求めよ。」「 …自然数 n で5桁最小のものを求めよ。」などと、出題する側はいくらでも問題をアレンジする事ができますから、解答側はそれに合わせて「 l 」に適当な数値を代入し、実際に計算した結果を比べるしか、正解を出す方法はない気がします。

「和算」には、不定方程式の「最小の正のXの値」を一発で出す『剰一術(じょういちじゅつ)』なるものがあるようですが…。
http://task.naganoblog.jp/e976184.html

私には何が書いてあるのか全く分かりません。時空解さん、解読してみてはいかがでしょうか? 

たぶん解読に成功すれば「 l=1 または l=0 問題 」も解消できるかもしれません(?)。

しかし…『 2011X - 23Y = 1 』なんて問題が、実際に数検で出題されたら…とても嫌ですね(汗)

コメントを書く
コメントを書くにはログインが必要です。
メインメニュー
ログイン
ユーザー名:

パスワード:



日記投稿者リスト
カレンダー
月表示
カテゴリー
にほんブログ村リンク