みなさん、こんにちは。 昨日の続きです。書籍「読む数学」の「方程式を解くということ - その１」に付いての疑問を昨日書きましたが、その後書籍を読み進んで行くと、なんと！「もう一つの視点」と言う章に、昨日の疑問に対する一つの応え（回答ではない）らしきものが書かれていました。 「解と係数の関係から α + β の値がわかり、もう一つの式として α - β を使いました。なぜひいたのだろうか？ これは難しい質問ですが、じつは -1 が...

みなさん、こんにちは。 数の体系の中の実数に付いてみていたところ、驚いた事がありました。ニュートンやライプニッツが微積分学を創始した事は知っていたのですが、まだその時代（十七世紀）には実数と言う数字が明確な形で定義されていたわけではなかったのです。これは意外でした。 Wikipedia によれば、カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラスが代表する、イプシロン-デルタ（ε-δ）論法が確立されて（十九世紀）始めて実数と言う数字の連続性が確立...

みなさん、こんにちは。 昨日、有理数に付いてみている時に、十進数表記の素数とその他の進数表記（例えば七進数表記）の素数とでは、何か性質に違いがあるのかと言う疑問を抱く事を書きました。インターネットで検索してみても、それに対する回答らしき物は出て来ませんでした。しかし、どうも気になりますね。学生の時にでも研究しておけば良かった。まぁ世の中にこの手の研究が見当たらないと言う事は、十進数の素数も七進数の素数も性質は同じ、と言う事が分かっているのかも知れません。でも、そうとしたら中...

みなさん、こんにちは。 昨日は整数に付いてみてみましたので、今日は数の体系の内の有理数に付いて、Wikipedia で見てみました。そしたら、学生時代にとても興味を抱いた問題点に触れている部分がありましたので、ここに引用してみたいと思います。 Wikipedia より 有理数を十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の...

みなさん、こんにちは。 先日まで自然数に付いてみてきましたが、今日はその次の数字、整数に付いてみてみました。現在の数学の教育を受けた私たちに取っては負数（-1,-2,-3,…）は何に違和感もないのですが、昔の人に取っては実在の物として受け入れられていなかったようです。 Wikipedia の記述は下記の通りです。 ペルシアの数学者アブル・ワファー (940 - 998) は負数同士の積が正数であることを記しているが、しかし依然として数は何らかの物理的な...

みなさん、こんにちは。 今日も数の体系から、自然数の定義として良く知られている、ペアノの公理に付いて感じたことを書いてみたいと思います。Wikipedia にも記載されているのですが、「自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない」と書かれています。ところがペアノの公理に目を通してから改めて考えてみると、本当に人は何を持って、「自分は理解できた」と実感しているのでしょうか？そんな疑問が、私の頭には湧いてしまいます。 Wikipedia より...

みなさん、こんにちは。 今日も数の体系から、引き続き自然数に付いて見てみたいと思います。 昨日のブログにも書きましたが、ユークリッドの原論による自然数の定義として、単位（１）と言うものを先に示し、数とはその単位からなる多である、としています。定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できるそうです。 この定義をみて思った事ですが、数と言うものは対象物がちゃんとありますよ、とユークリッドは言っているように思えてなりません。つまり単位と言う物を先に設定して、その上で数...

みなさん、こんにちは。 ７月１６日に数字の体系に付いてちょっと触れましたが、今日は自然数に付いて少し掘り下げてみました。 まずは Wikipedia に載っている自然数の説明に、ゼロ（０）の扱いに対する興味深い記述があります。 0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。 と言う記述です。 学生時代には、ゼロ（０）は自然数には含まない、と教えられたものです。確かテストの問題にも「ゼロは自然数に含まれるか？」と言った問いが出されていた記...

みなさん、こんにちは。 さて、今日は数字の復習をちょっとしてみます。中学、高校時代に自然数や整数、有理数など、いろいろな数字の枠組みを覚えたものですが、私も今は五十五歳です。ちょっと不確かになっていますので、改めて整理してみようと思いました。それで調べてみた数字が次の七つです。いずれも wikipedia からの引用です。 自然数： 1, 2, 3,  …とする流儀（日本における初等中等教育では「自然数は 1 から始まる」と指導される）と 0...

みなさん、こんにちは。 ６月８日付けのブログで、ガロアの理論に付いて少し触れましたが、その時に「なんでこんな事、わざわざ定義し出すのだろう？」と言う疑問を持った事を書きました。世に言う「体（たい）の定義」に付いての疑問です。わざわざ体なんていう概念を作りだした人達の（ガウス？ガロア？）の心境が分かりませんでした。 しかし最近、多項式の演習問題を行っているうちに、少しガロアの心境が分かってきました。いやいや、本当に分かった訳では決してないのでしょうけれど、何となくそうなのか...