$a \gt 0,~b \gt 0$ のとき $\displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq$ $\sqrt{ ab }$ ○ 　　　 × Click! Anser

等号が成り立つのは、$a = b$ のときである。

$a \gt 0,~b \gt 0$ のとき、 $\displaystyle \frac{ a + b }{ 2 }$ $\geqq \sqrt{ ab }$
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等号が成り立つのは、$a = b$ のときである。

$a$ $\gt$ $0,~b$ $\gt$ $0$ のとき、 $\displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq \sqrt{ ab }$
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等号が成り立つのは、$a = b$ のときである。

$a \gt 0,~b \gt 0$ のとき $\sqrt{ ab }$ $\leqq$ $\displaystyle \frac{ a + b }{ 2 }$

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等号が成り立つのは、$a = b$ のときである。

$a \gt 0,~b \gt 0$ のとき　$2 \sqrt{ ab } \leqq a + b$

等号が成り立つのは、 $a$ $=$ $b$ のときである。 ○ 　　　 × Click! Anser

$a \gt 0,~b \gt 0$ のとき

$\displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } - \sqrt{ ab } = \frac{ a + b - 2\sqrt{ ab } }{ 2 }$
　　　　　　　$= \displaystyle \frac{ (\sqrt{ a })^2 + (\sqrt{ b })^2 -2 \sqrt{ a } \sqrt{ b } }{ 2 }$
　　　　　　　$= \displaystyle \frac{ (\sqrt{ a } - \sqrt{ b })^2 }{ 2 } \geqq 0$
したがって　　$\displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq \sqrt{ ab }$

等号が成り立つのは、$\sqrt{ a } - \sqrt{ b } = 0$ すなわち $a = b$ のときである。