$ a \gt 0,~b \gt 0 $ のとき $ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq $ $ \sqrt{ ab } $ ○ 　　　 × Click! Anser

等号が成り立つのは、$ a = b $ のときである。

$ a \gt 0,~b \gt 0 $ のとき、 $ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } $ $ \geqq \sqrt{ ab } $
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等号が成り立つのは、$ a = b $ のときである。

$ a $ $ \gt $ $ 0,~b $ $ \gt $ $ 0 $ のとき、 $ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq \sqrt{ ab } $
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等号が成り立つのは、$ a = b $ のときである。

$ a \gt 0,~b \gt 0 $ のとき $ \sqrt{ ab } $ $ \leqq $ $ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } $

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等号が成り立つのは、$ a = b $ のときである。

$ a \gt 0,~b \gt 0 $ のとき　$ 2 \sqrt{ ab } \leqq a + b $

等号が成り立つのは、 $ a $ $ = $ $ b $ のときである。 ○ 　　　 × Click! Anser

$ a \gt 0,~b \gt 0 $ のとき

$ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } - \sqrt{ ab } = \frac{ a + b - 2\sqrt{ ab } }{ 2 } $
　　　　　　　$ = \displaystyle \frac{ (\sqrt{ a })^2 + (\sqrt{ b })^2 -2 \sqrt{ a } \sqrt{ b } }{ 2 } $
　　　　　　　$ = \displaystyle \frac{ (\sqrt{ a } - \sqrt{ b })^2 }{ 2 } \geqq 0 $
したがって　　$ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq \sqrt{ ab } $

等号が成り立つのは、$ \sqrt{ a } - \sqrt{ b } = 0 $ すなわち $ a = b $ のときである。