出典、参考文献：数学I_数と式-08 を対象 (青チャート式数学公式集より)
 

$ 0.666 \dotsm = 0. \dot{6} $ 　　$ 1.181818  \dotsm = 1. \dot{1} \dot{8} $ 　　$ 0.0123123123 \dotsm = 0.0 \dot{1} 2 \dot{3} $

　☆ 循環小数 加減算

　　　$ 0. \dot{6} + 1. \dot{1} \dot{8} = 1. \dot{8} \dot{4} $

　　　$ 0. \dot{6} - 1. \dot{1} \dot{8} = -0. \dot{5} \dot{1} $



　☆ 循環小数 剰余算

　　　$ 1. \dot{1} \dot{8} × 0.0 \dot{1} 2 \dot{3} = 0.0 \dot{1} 4550 \dot{9} $

　　　$ 1. \dot{1} \dot{8} \div 0.0 \dot{1} 2 \dot{3} = 95. \dot{9} 86696230 \dot{5} $






　☆ $ 9. \dot{9} = 10 $　…どうして等しいと言えるのか？


　循環小数を分数に変換

　　　 $ x =~ 9. \dot{9} $ とすると　$ 10x = 99. \dot{9} $

　　　$ 10x - x $ は　　$ ~~99.999 \dotsm $
　　　　　　　　　　$ \underline { -~~9.999 \dotsm } $
　　　　　　　　　　　$ 90 $　である。
　つまり　　$ (10 -1)x = 90 　 \therefore x = \displaystyle \frac{ 90 }{ 10 -1 } = 10  $


　☆ 循環小数 $ 0.04 \dot{6} 2 \dot{9}  $ を分数に変換と？

　　　　　 $ x~ =~0.04 \dot{6} 2 \dot{9} $ とすると
　　　$ 1000x = 46.29 \dot{6} 2 \dot{9} $

　　　$ 1000x - x $ は
　　　$ (1000 -1)x = 46.25 $　　$ \therefore x = \displaystyle \frac{ 46.25 }{ 999 } = \frac{5}{108} $


　☆ 循環小数 $ 1. \dot{2} 34 \dot{5} $ を分数に変換と？ (電卓の限界)

　　　　$ x =　　 1. \dot{2} 34 \dot{5} $ とすると
　$ 10000x = 12345. \dot{2} 34 \dot{5} $

　$ 10000x - x $ は $ (10000 -1)x = 12344 $　　$ \therefore x = \displaystyle \frac{ 12344 }{ 9999 } $

　　　$ 0. \dot{0} 072992 \dot{7} = \displaystyle \frac{ 1 }{ 137 } $　…これは変換してくれる。





　$ 51.23123123 \dotsm $ は　$ 5 \dot{1} .2 \dot{3} $

　　　　　　　　　　 　$ 51. \dot{2} 3  \dot{1} $　　　どっち？


　☆ "小数点以下" と言う大切な決まり

　　　例えば、$ \dot{6} 7 $ と書かれた数値は
　　 $ \dotsm 6666667 $ と言う無限大の数値とも読める

　　　 $ x =~ \dot{6} 7 $ とすると　$ 10x = \dot{6} 70 $

　　　$ 10x - x $ は　　$ ~ \dot{6} 70 $
　　　　　　　　　$ \underline { -　\dot{6} 7 } $
　　　　　　　　　　$~　 3 $　である。
　つまり　　$ (10 -1)x = 3 　 \therefore x = \displaystyle \frac{ 3 }{ 9 } = \displaystyle \frac{ 1 }{ 3 } = \dot{6} 7  \textcolor{red}{ ？ } $





　☆ 循環小数 $ 0.04 \dot{6} 2 \dot{9}  $ を分数に変換と？

　　　　　 $ x~ =~0.04 \dot{6} 2 \dot{9} $ とすると
　　　$ 1000x = 46.29 \dot{6} 2 \dot{9} $

　　　$ 1000x - x $ は
　　　$ (1000 -1)x = 46.25 $　　$ \therefore x = \displaystyle \frac{ 46.25 }{ 999 } = \frac{5}{108} $