皆さん、おはようございます。時空 解です。
 

本当に私にとっては、場合の数と言うのが難しいです。昨日も青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」p316 の基本例題１３で四苦八苦していました。

それはこんな問題です。

この例題１３の (1) と (2) は、まぁ問題なく分かりますよね。
 

四苦八苦したのが (3) です。

私はこんな考え方をしました。

男子が $ A, B, C, $ だから、これの順列は
$ {}_n \mathrm{ P }_r  = {}_3 \mathrm{ P }_3  = 3! = 6 $
ですよね。

女子の場合は
$ {}_n \mathrm{ P }_r  = {}_4 \mathrm{ P }_4  = 4! = 24 $
です。

この上記の２つが「どの男子も隣り合わないような並び方」が何通り ( これを $ x $ としましょう) あるのかを調べれば答は出せるはずです。つまり
$ 6 \cdot 24 \cdot x $
ですよね。

(3) の答えは１４４０通りです。ですから $ 1440 ÷ (6 \cdot 24)  = 10 $ なので、１０通りの「どの男子も隣り合わないような並び方」があるはずなのですが…

ここで自分が考えた「どの男子も隣り合わないような並び方」の探り方がよくなかった。
はじめに男子３人を並べておいて、その間に女子を並べる、と言う考え方をしちゃったんですよね。
 

　♂　♂　♂　
　　　↑
  (♀,♀,♀,♀) 
 

こうすると男子の間に女子を２人入れたり、時には３人入れたりする並べ方もありますから全部を書き出すことが難しいんです。こんなやり方では全部を書き出すことができないんですよね。

逆に考えると楽になります。つまり女子４人を並べておいて、その間に男子を入れる考え方です。
 

　♀　♀　♀　♀　
　　 　↑
 　 (♂,♂,♂)
 

こちらの方が１０通り全部を書き出すことが出来る可能性が高いです。女子の間には、男子を１人だけ入れる、と言うシンプルな考え方で良いからです。
 

さて、こんなふうにして並びを全部書き出して考えていたのですが、実は青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」の答の導き方はもっとシンプルです。
 

まず始めに女子を４人並べます。

　♀　♀　♀　♀　

これは $ {}_4 \mathrm{ P }_4 $ ですよね。

次に、この女子の間３ヶ所と両端２か所、合わせて５か所 ( ＿ の部分 )に男子を入れると…？と考えるのです。

＿♀＿♀＿♀＿♀＿

つまり３人を５か所に並べるのだから、順列として $ {}_5 \mathrm{ P }_3 $ と考えることが出来ます。
したがって (3) の答えは
 $ {}_4 \mathrm{ P }_4 \cdot {}_5 \mathrm{ P }_3 $
となりますよね。

１４４０通りとなるのです。
 

始めは自分の考え方で出した答えと青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」の答が一致しなかったので悩みましたが…男子３人を並べておいて、そこに女子４人を並べると言うやり方がダメでした。女子を並べてそこに男子を…と考えていたら、答えにたどり着いたかもね…
 

では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。