50代から理数を学ぶ - やっと解法が理解できました、$ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \leqq 3, ~ a_i \geqq 0 (i=1,~2,~,3,~,4,~5) $ を満たす整数の組の個数

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$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \leqq 3, ~ a_i \geqq 0 (i=1,~2,~,3,~,4,~5)$ を満たす整数の組の個数

時空解さんの日記

2019

2月 27

(水)

09:30

やっと解法が理解できました、

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \leqq 3, ~ a_i \geqq 0 (i=1,~2,~,3,~,4,~5)$ を満たす整数の組の個数

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カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

いやぁ～混乱します、この問題。
青チャート「改訂版チャート式基礎からの数学I+A」の p350 重要例題 35 の (3) の問題です。
とりあえず問題とその解答を下記の書いてみます。

重要例題35
次の条件を満たす整数の組 ( $a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5$ ) の個数を求めよ。
(1) 省略
(2) 省略
(3) $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \leqq 3, ~ a_i \geqq 0~(i=1,~2,~,3,~,4,~5)$

解答
$3-(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) = b$ とおくと
　 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+b = 3,$
　 $a_i \geqq 0~(i=1,~2,~,3,~,4,~5),~b\geqq 0$
よって、求める組の個数は、上記２つの条件を満たす 0 以上の整数の組の個数に等しい。これは異なる６個のものから３個を取る重複組み合わせの総数に等しく
${}_6 \mathrm{ H }_3 = {}_{6+3-1} \mathrm{ C }_3 = {}_8 \mathrm{ C }_3 = 56$ (個)

この問題の解法で、特にすごいなぁと思う点は変数

$b$ を使っている点です。問題の与式

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \leqq 3$ の

$\leqq 3$ を = に変換しているのですから。

でも、どうして変換できるのか…これを納得するのに時間が掛かかりました。これは「異なる６個のものから３個を取る重複組み合わせの総数に等しい」を正しく理解することと同じです。

みなさんは解りますか？

変数

$a_1$ とか

$a_2$ とかをお皿としてみましょう。そうするとお皿が

$a_1$ から

$a_5$ まで、５皿ある状況です。それにもう一つ、

$b$ と言うお皿を想定して、そのお皿にイチゴが３つ乗っていると考えてみて下さい。

お皿

$a_1$ は空 | お皿

$a_2$ は空 | お皿

$a_3$ は空 | お皿

$a_4$ は空 | お皿

$a_5$ は空 | お皿

$b$ にイチゴ OOO

お皿

$b$ にイチゴが３つ乗った状況は上記のとおりですよね。
ではお皿

$a_1$ に２つ、

$a_4$ に１つならどうでしょうか。

お皿

$a_1$ にイチゴ OO | お皿

$a_2$ は空 | お皿

$a_3$ は空 | お皿

$a_4$ にイチゴ O | お皿

$a_5$ は空 | お皿

$b$ は空

こんな感じですよね。３つのイチゴをお皿

$b$ から他のお皿に移動することで、

$\leqq 3$ を = に変換しています。
上記をシンプルな形に書き換えてみましょう。

| | | | |OOO
OO | | |O | |

つまり、O ３つと | ５つの順列と一緒ですから

$\displaystyle \frac{ 8! }{ 3! \cdot 5! } = 56$
となります。私はこう解釈いたしました。

「異なる６個のものから３個を取る重複組み合わせの総数に等しい」と言うことと「６枚のお皿に３つのイチゴを乗せる方法の総数」が同じだと解釈したわけです。

合ってると思うんですけどね…。

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