時空 解 さんの日記
2019
3月
5
(火)
10:20
前の日記
本文
皆さん遅くなりましたが、おはようございます。時空 解です。
昨日悩んだ数学の問題、p321 Exercises 7 に付いてブログを見返してみると、去年の９月９日にも悩んでいることが分かります。
この問題 (p321 Exercises 7) を解くためには、p308 の 基本例題７を理解しないといけない…とブログには書かれています。が、これってちょっと的外れです。この時にはまだ理解が足りていなかったのでこんなことを書いてしまっています。
申し訳ありません。m( _ _ )m
もちろん p308 の 基本例題７も理解していないと p321 Exercises 7 は解けませんが、本当は次の p309 の基本例題８の方が大切です。
基本例題８の指針に書かれている内容を理解することが大切です。
基本例題８の指針に書かれている内容を理解することが大切です。
ではここで、 p309 の基本例題８ を書いてみます。
基本例題８ 約数の個数と総和
540 の正の約数は全部で何個あるか。また、その約数の和を求めよ。指針
( 丸写しは止めておきます。でもここに $ p^0=1 $ と定義される旨のことが書かれています。これが重要なんです )解答
$ 540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 $ であるから、540 の正の約数は、
$ a=0,~1,~2 $; $ b=0,~1,~2,~3 $; $ c=0,~1 $;
として、 $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c $ と表される。
(約数の個数) $ a $ の定め方は３通り。
そのおのおのについて、$ b $ の定め方は４通り。
更に、そのおのおのについて、$ c $ の定め方は２通りある。
よって、積の法則により $ 3×4×2=24 $ (個)
(約数の和) $ 540 $ の正の約数は
$ (1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5) $
を展開した項にすべて現れる。よって、求める和は
$ (1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5) $
$ =7×40×6=1680 $
この基本例題８に付いて、自分が理解できていなかった点は、下記の１点。
$ 2^0 $、$ 3^0 $、$ 5^0 $ の意味
です。
$ 2^0 $、$ 3^0 $、$ 5^0 $ の意味
です。
問題に出で来る数字 $ 540 $ を素因数分解すると $ 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 $ ですよね。もっとキチンと書くと
$ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 $
です。この式に出てくる数字 $ 2 $ とか $ 3 $ とか $ 5 $ を全部掛け合わせると $ 540 $ になります。これって約数の一つですよね。
素因数分解して出て来た数字 $ 2 $ を一つ選んで作る数字 $ 2 $ も約数ですし、二つ選んで作る数字 $ 2 \cdot 2 = 4 $ も約数です。
$ 3 $ の場合も一つ、二つ、そして三つ選んで作る数字 $ 3,~9,~27 $ も約数です。
では、数字 $ 2 $ とか $ 3 $ とか $ 5 $ を一つも選ばない、つまり一つも使わないで作る数字…これはいくつになるでしょう…？
$ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 $
です。この式に出てくる数字 $ 2 $ とか $ 3 $ とか $ 5 $ を全部掛け合わせると $ 540 $ になります。これって約数の一つですよね。
素因数分解して出て来た数字 $ 2 $ を一つ選んで作る数字 $ 2 $ も約数ですし、二つ選んで作る数字 $ 2 \cdot 2 = 4 $ も約数です。
$ 3 $ の場合も一つ、二つ、そして三つ選んで作る数字 $ 3,~9,~27 $ も約数です。
では、数字 $ 2 $ とか $ 3 $ とか $ 5 $ を一つも選ばない、つまり一つも使わないで作る数字…これはいくつになるでしょう…？
これが $ 2^0 $、$ 3^0 $、$ 5^0 $ の意味です。
$ 540 $ の約数には $ 1 $ もありますよね。これを $ 2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0 $ で表現できるのです。
このことに、以前は気付く事ができませんでした。指数の定義として $ p^0=1 $ と言うのがありますよね。その定義が必要な意味を、この基本例題８で想い知らされた気がしています。
(約数の和) のところで出てくる数式
$ (1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5) $
$ =7×40×6=1680 $
この中に出てくる $ (1+2+2^2) $ の $ 1 $ は $ 2 $ を選ばない、と言う意味の $ 1 $ です。$ (1+3+3^2+3^3) $ も $ (1+5) $ の $ 1 $ も同じです。
$ 2 $ を選ばずに約数を作るには $ 3 $ とか $ 5 $ を選んで掛け合わせるわけですが、$ 2 $ を選ばないからと言って、それを $ 0 $ にしてしまったら $ (0) \cdot (3) \cdot (5) = 0 $ になっちゃうからね。
このことに、以前は気付く事ができませんでした。指数の定義として $ p^0=1 $ と言うのがありますよね。その定義が必要な意味を、この基本例題８で想い知らされた気がしています。
(約数の和) のところで出てくる数式
$ (1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5) $
$ =7×40×6=1680 $
この中に出てくる $ (1+2+2^2) $ の $ 1 $ は $ 2 $ を選ばない、と言う意味の $ 1 $ です。$ (1+3+3^2+3^3) $ も $ (1+5) $ の $ 1 $ も同じです。
$ 2 $ を選ばずに約数を作るには $ 3 $ とか $ 5 $ を選んで掛け合わせるわけですが、$ 2 $ を選ばないからと言って、それを $ 0 $ にしてしまったら $ (0) \cdot (3) \cdot (5) = 0 $ になっちゃうからね。
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