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時空 解 さんの日記

 
2019
6月 14
(金)
16:06
「雪だるま式に増える」と言う言葉に振り回されていた、複利積立の計算方法
本文
皆さん、おはようございます…じゃなんて、もうこんにちはですね。汗  時空 解です。
 
3、4日前の話になりますが、等比数列の和 の所で出てくる基礎例題72をやっていて、目からうろこが落ちました。
自分の長年の勘違いに気が付いたのです。

複利計算って、皆さんもご存知ですよね?金融機関を利用して貯金をしている時に出てくる、利子の計算方法の1つです。
 
この計算方法が、長年ずーーーーっと理解できなかったのです。
その理由の1つに等比数列の公式から出てくる計算式だとは思っていなかった事が挙げられるでしょう。ずっと指数計算だと思っていたので理解出来なかったのです。20代の時に自分の銀行口座を作ったのですが、その時にされた複利の話も、頭の中にクエスチョンマークが浮かんでくるだけでした。
それにもう一つ、"雪だるま式に増える" と言う言葉にも引っかかっていたんです。

ある時、親切な銀行員の方がいらっしゃって、この複利積立の計算方法丁寧にを教えて下さった方がいらっしゃいました。
その時にしてくれた説明が、まさに今回の基礎例題72の解答に出てくる説明だったと記憶しています。
でもその時にはこんな風に想ってしまったんですよね。
 
「どうして1年目の元金、2年目の元金… $ n $ 年目の元金と、年毎の元金に分けて利子計算するんだ?…複利は 溜まっいる金額+積立金 に利子を掛けるんじゃないの…? 2年目なら、利子を含んだ1年目の分と2年目の元金を合わせた金額に利子を掛けるんだよね?計算が違うじゃないか…」

長年、この疑問が溶けませんでした。

疑問と言うよりは、銀行の説明に疑いを持ってしまっていたくらいでしたね。
世の中信用できん!きっとこの銀行の複利計算と言うのは、この銀行独自の計算式なのだろう…。
と、そんなバカな想像をするほどだったんです。
 
でも、3日前にやっと分るようになりました。 なるほど、確かに雪だるま式に計算した式を整理すると、毎年の元金に分けて利子を計算した式と一致するんですね。ちょっとした式の整理でした。

これを今から説明して行きますね。

まずは白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p407 に出てくる基本例題72をみて下さい。
 
基本例題72 複利計算
 
Wikipedia によると、複利に付いてこんな説明がされています。
複利法とは、元金(がんきん)によって生じた利子を次期の元金に組み入れる方式であり、元金だけでなく利子にも次期の利子がつく。したがって、各期の利子が次第に増加していく。投資や借金などでは、雪だるま式に利子が増えていくことになる。
 
上記の説明は、社会人になれば自然と耳にする機会のある説明ですよね。「借金が雪だるま式に増えて行く」と言う一文はテレビドラマ等でサラ金を利用した主人公を苦しめる一文として良く出て来たりします。「複利ですので、投資すると雪だるま式にお金が増えますよ」なんてうまい話もよく耳にします。
この "雪だるま式" と言う言葉に、私は随分と強いイメージを持っていたようです。それで親切な銀行員の方を疑ってしまったり、今回のこの問題、基礎例題72の問題の解答をみても、納得がいかなかったのです。
 
でも、一度キチンと鉛筆で書いてみれば簡単に分かったことだったんです。いきなり積み立てる元金毎に利子を計算する説明を聞いてしまうから、雪だるま式と言うイメージとぶつかってしまうのです。
まぁぶつかるのは私だけかも知れませんけどね。
 
では基礎例題72の解答を見てみましょう。
ついでに、Lecture のところも示しておきます。


正式な解答は上記のごとくです。如何でしょうか?
私と同様、どうして毎年の元金毎に単利計算をするのか…そんな疑問が沸きませんか?

確かに最終的に、単利計算をした答えを足し合わせる訳ですが、これと複利の説明とは一致しない気がするんですよね。私はここが長年しっくりとこなかったのです。

では、これをしっくりさせるために、まずは
等比数列の和として、基礎例題72の計算を一度キチンと雪だるま式で書いてみましょう。こんにちは


 
1年目の年末の金額が初項ですよね。毎年初めに貯金する元金を $ a $ とすると、初項は元金2万円に年利率1%、すなわち 公比 $ r $ を掛けた金額です。
$ a \cdot r $
 
2年目の年末の金額は、1年目末の金額 ( 赤文字 ) に元金を足しこんで、それに利子を掛けます。これが複利 ( 雪だるま式 ) です。
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} a \cdot r} + a) \cdot r $
 
同じようにして、3年目も前の年の年末の全金額 ( 赤文字 ) に元金を足し込んで、それに利子を掛けます。
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (a \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
 
4年目も同様
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
 
5年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
 
6年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
 
7年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
 
8年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
 
9年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
 
そして10年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
 
つまり複利計算で毎年2万円積み立てた時の10年後の貯蓄額は、上記の最後の行、10年目のところの計算式で求められる金額ですよね。
これって、基本例題72の解答とは食い違っているものだと、ずっと思い込んでいた訳です。
 
でもね、上記の計算式を整理してみてビックリ! 
基本例題72の解答と同じ形になるんです。
 
では1年目の金額から順々に整理してみましょう。
1年目の金額は
$ a \cdot r $
ですよね。2年目はこれに $ a $ を足して、それに $ r $ を掛けるのだから
$ (a \cdot r + a) \cdot r = ar^2+ar $
と整理できますよね。
3年目は、上記に $ a $ を足して、それに $ r $ を掛けるのだから
$ ((ar^2+ar) + a) \cdot r = ar^3 + ar^2 + ar $
4年目も同様に
$ ((ar^3 + ar^2 + ar) + a) \cdot r = ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
 
 
10年目は
$ ar^{10} + ar^9 + ar^8 + ar^7 + ar^6 + ar^5 + ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
 
となります。この
$ ar^{10} + ar^9 + ar^8 + ar^7 + ar^6 + ar^5 + ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
が10年後の元金と複利式利息を合わせた金額なのですが、これってどう見えますか?

$ a $ は積み立てる2万円ですし、$ r $ は年利率1%、つまり 1.01 のことですから、

$ 2 ×(1.01)^{10} + 2 ×(1.01)^9 + 2 ×(1.01)^8 + 2 ×(1.01)^7 + 2 ×(1.01)^6 + 2 ×(1.01)^5 + 2 ×(1.01)^4 + 2 ×(1.01)^3 + 2 ×(1.01)^2 + 2 ×(1.01) $

となり、解答と同じ結果になります。

うーむ…うーむ02

 
社会人になりたての時も、親切な銀行員さんの話をちゃんとメモって、後で式を整理すれば分ったことだったのです。すみませんでした、食って掛かってしまって…。

"雪だるま式" と言う言葉に振り回されていた私です。

でも、その銀行員さんも「雪だるま式と違うんですか?」と私が質問した時に上記のごとく「雪だるま的な式を整理するとこうなるんですよ」と教えてくれればよかったのにねぇ…。
なーんて、贅沢は言ってはいけませんね。

もしかしたら、結構世間の人もこの "雪だるま式" を整理するとこうなる事に、案外気が付いていないのではないでしょうか?
それとも私だけ… ううっ

きっと私だけではない、と言う気持ちで最後までキチンと書いてみました。
遅くなってごめんなさいね。m( _ _ )m
 
では今日も休日を始めます。休日の充実こそ、人生の充実です。
 

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  掛け算 せず  

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 チャート式 数学 青I+A:せず  

 実用数学技能検定 要点整理2級:せず  

 スタディサプリ:せず  

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 2階に上り降り時、懸垂1回 (ボルダリングの体力獲得)  
ランチ & 買い物後  

  できず  

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  昨日・良い習慣を休日でも実施する:×  

  昨日・コンテンツを中途半端でも良いので作る:×  

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