時空 解 さんの日記
2019
6月
14
(金)
16:06
前の日記
本文
皆さん、おはようございます…じゃなんて、もうこんにちはですね。
時空 解です。
時空 解です。３、４日前の話になりますが、等比数列の和 の所で出てくる基礎例題７２をやっていて、目からうろこが落ちました。
自分の長年の勘違いに気が付いたのです。
複利計算って、皆さんもご存知ですよね？金融機関を利用して貯金をしている時に出てくる、利子の計算方法の１つです。
自分の長年の勘違いに気が付いたのです。
複利計算って、皆さんもご存知ですよね？金融機関を利用して貯金をしている時に出てくる、利子の計算方法の１つです。
この計算方法が、長年ずーーーーっと理解できなかったのです。
その理由の１つに等比数列の公式から出てくる計算式だとは思っていなかった事が挙げられるでしょう。ずっと指数計算だと思っていたので理解出来なかったのです。２０代の時に自分の銀行口座を作ったのですが、その時にされた複利の話も、頭の中にクエスチョンマークが浮かんでくるだけでした。
それにもう一つ、"雪だるま式に増える" と言う言葉にも引っかかっていたんです。
ある時、親切な銀行員の方がいらっしゃって、この複利積立の計算方法丁寧にを教えて下さった方がいらっしゃいました。
その時にしてくれた説明が、まさに今回の基礎例題７２の解答に出てくる説明だったと記憶しています。
でもその時にはこんな風に想ってしまったんですよね。
その理由の１つに等比数列の公式から出てくる計算式だとは思っていなかった事が挙げられるでしょう。ずっと指数計算だと思っていたので理解出来なかったのです。２０代の時に自分の銀行口座を作ったのですが、その時にされた複利の話も、頭の中にクエスチョンマークが浮かんでくるだけでした。
それにもう一つ、"雪だるま式に増える" と言う言葉にも引っかかっていたんです。
ある時、親切な銀行員の方がいらっしゃって、この複利積立の計算方法丁寧にを教えて下さった方がいらっしゃいました。
その時にしてくれた説明が、まさに今回の基礎例題７２の解答に出てくる説明だったと記憶しています。
でもその時にはこんな風に想ってしまったんですよね。
「どうして１年目の元金、２年目の元金… $ n $ 年目の元金と、年毎の元金に分けて利子計算するんだ？…複利は 溜まっいる金額+積立金 に利子を掛けるんじゃないの…？ ２年目なら、利子を含んだ１年目の分と２年目の元金を合わせた金額に利子を掛けるんだよね？計算が違うじゃないか…」
長年、この疑問が溶けませんでした。
疑問と言うよりは、銀行の説明に疑いを持ってしまっていたくらいでしたね。
世の中信用できん！きっとこの銀行の複利計算と言うのは、この銀行独自の計算式なのだろう…。
と、そんなバカな想像をするほどだったんです。
長年、この疑問が溶けませんでした。
疑問と言うよりは、銀行の説明に疑いを持ってしまっていたくらいでしたね。
世の中信用できん！きっとこの銀行の複利計算と言うのは、この銀行独自の計算式なのだろう…。
と、そんなバカな想像をするほどだったんです。
でも、３日前にやっと分るようになりました。 なるほど、確かに雪だるま式に計算した式を整理すると、毎年の元金に分けて利子を計算した式と一致するんですね。ちょっとした式の整理でした。
これを今から説明して行きますね。
まずは白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p407 に出てくる基本例題７２をみて下さい。
これを今から説明して行きますね。
まずは白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p407 に出てくる基本例題７２をみて下さい。
基本例題７２ 複利計算
Wikipedia によると、複利に付いてこんな説明がされています。
複利法とは、元金（がんきん）によって生じた利子を次期の元金に組み入れる方式であり、元金だけでなく利子にも次期の利子がつく。したがって、各期の利子が次第に増加していく。投資や借金などでは、雪だるま式に利子が増えていくことになる。
複利法とは、元金（がんきん）によって生じた利子を次期の元金に組み入れる方式であり、元金だけでなく利子にも次期の利子がつく。したがって、各期の利子が次第に増加していく。投資や借金などでは、雪だるま式に利子が増えていくことになる。
上記の説明は、社会人になれば自然と耳にする機会のある説明ですよね。「借金が雪だるま式に増えて行く」と言う一文はテレビドラマ等でサラ金を利用した主人公を苦しめる一文として良く出て来たりします。「複利ですので、投資すると雪だるま式にお金が増えますよ」なんてうまい話もよく耳にします。
この "雪だるま式" と言う言葉に、私は随分と強いイメージを持っていたようです。それで親切な銀行員の方を疑ってしまったり、今回のこの問題、基礎例題７２の問題の解答をみても、納得がいかなかったのです。
この "雪だるま式" と言う言葉に、私は随分と強いイメージを持っていたようです。それで親切な銀行員の方を疑ってしまったり、今回のこの問題、基礎例題７２の問題の解答をみても、納得がいかなかったのです。
でも、一度キチンと鉛筆で書いてみれば簡単に分かったことだったんです。いきなり積み立てる元金毎に利子を計算する説明を聞いてしまうから、雪だるま式と言うイメージとぶつかってしまうのです。
まぁぶつかるのは私だけかも知れませんけどね。
まぁぶつかるのは私だけかも知れませんけどね。
では基礎例題７２の解答を見てみましょう。
ついでに、Lecture のところも示しておきます。
正式な解答は上記のごとくです。如何でしょうか？
私と同様、どうして毎年の元金毎に単利計算をするのか…そんな疑問が沸きませんか？
確かに最終的に、単利計算をした答えを足し合わせる訳ですが、これと複利の説明とは一致しない気がするんですよね。私はここが長年しっくりとこなかったのです。
では、これをしっくりさせるために、まずは等比数列の和として、基礎例題７２の計算を一度キチンと雪だるま式で書いてみましょう。
正式な解答は上記のごとくです。如何でしょうか？
私と同様、どうして毎年の元金毎に単利計算をするのか…そんな疑問が沸きませんか？
確かに最終的に、単利計算をした答えを足し合わせる訳ですが、これと複利の説明とは一致しない気がするんですよね。私はここが長年しっくりとこなかったのです。
では、これをしっくりさせるために、まずは等比数列の和として、基礎例題７２の計算を一度キチンと雪だるま式で書いてみましょう。
１年目の年末の金額が初項ですよね。毎年初めに貯金する元金を $ a $ とすると、初項は元金２万円に年利率１％、すなわち 公比 $ r $ を掛けた金額です。
$ a \cdot r $
$ a \cdot r $
２年目の年末の金額は、１年目末の金額 ( 赤文字 ) に元金を足しこんで、それに利子を掛けます。これが複利 ( 雪だるま式 ) です。
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} a \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} a \cdot r} + a) \cdot r $
同じようにして、３年目も前の年の年末の全金額 ( 赤文字 ) に元金を足し込んで、それに利子を掛けます。
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (a \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (a \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
４年目も同様
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
５年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
６年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
７年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
８年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
９年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} (((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
そして１０年目も
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
$ ( {\color[RGB]{255,00,00} ((((((((a \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r + a) \cdot r} + a) \cdot r $
つまり複利計算で毎年２万円積み立てた時の１０年後の貯蓄額は、上記の最後の行、１０年目のところの計算式で求められる金額ですよね。
これって、基本例題７２の解答とは食い違っているものだと、ずっと思い込んでいた訳です。
これって、基本例題７２の解答とは食い違っているものだと、ずっと思い込んでいた訳です。
でもね、上記の計算式を整理してみてビックリ！
基本例題７２の解答と同じ形になるんです。
基本例題７２の解答と同じ形になるんです。
では１年目の金額から順々に整理してみましょう。
１年目の金額は
$ a \cdot r $
ですよね。２年目はこれに $ a $ を足して、それに $ r $ を掛けるのだから
$ (a \cdot r + a) \cdot r = ar^2+ar $
と整理できますよね。
３年目は、上記に $ a $ を足して、それに $ r $ を掛けるのだから
$ ((ar^2+ar) + a) \cdot r = ar^3 + ar^2 + ar $
４年目も同様に
$ ((ar^3 + ar^2 + ar) + a) \cdot r = ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
１年目の金額は
$ a \cdot r $
ですよね。２年目はこれに $ a $ を足して、それに $ r $ を掛けるのだから
$ (a \cdot r + a) \cdot r = ar^2+ar $
と整理できますよね。
３年目は、上記に $ a $ を足して、それに $ r $ を掛けるのだから
$ ((ar^2+ar) + a) \cdot r = ar^3 + ar^2 + ar $
４年目も同様に
$ ((ar^3 + ar^2 + ar) + a) \cdot r = ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
…
１０年目は
$ ar^{10} + ar^9 + ar^8 + ar^7 + ar^6 + ar^5 + ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
$ ar^{10} + ar^9 + ar^8 + ar^7 + ar^6 + ar^5 + ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
となります。この
$ ar^{10} + ar^9 + ar^8 + ar^7 + ar^6 + ar^5 + ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
が１０年後の元金と複利式利息を合わせた金額なのですが、これってどう見えますか？
$ a $ は積み立てる２万円ですし、$ r $ は年利率１％、つまり 1.01 のことですから、
$ 2 ×(1.01)^{10} + 2 ×(1.01)^9 + 2 ×(1.01)^8 + 2 ×(1.01)^7 + 2 ×(1.01)^6 + 2 ×(1.01)^5 + 2 ×(1.01)^4 + 2 ×(1.01)^3 + 2 ×(1.01)^2 + 2 ×(1.01) $
となり、解答と同じ結果になります。
うーむ…
$ ar^{10} + ar^9 + ar^8 + ar^7 + ar^6 + ar^5 + ar^4 + ar^3 + ar^2 + ar $
が１０年後の元金と複利式利息を合わせた金額なのですが、これってどう見えますか？
$ a $ は積み立てる２万円ですし、$ r $ は年利率１％、つまり 1.01 のことですから、
$ 2 ×(1.01)^{10} + 2 ×(1.01)^9 + 2 ×(1.01)^8 + 2 ×(1.01)^7 + 2 ×(1.01)^6 + 2 ×(1.01)^5 + 2 ×(1.01)^4 + 2 ×(1.01)^3 + 2 ×(1.01)^2 + 2 ×(1.01) $
となり、解答と同じ結果になります。
うーむ…
社会人になりたての時も、親切な銀行員さんの話をちゃんとメモって、後で式を整理すれば分ったことだったのです。すみませんでした、食って掛かってしまって…。
"雪だるま式" と言う言葉に振り回されていた私です。
でも、その銀行員さんも「雪だるま式と違うんですか？」と私が質問した時に上記のごとく「雪だるま的な式を整理するとこうなるんですよ」と教えてくれればよかったのにねぇ…。なーんて、贅沢は言ってはいけませんね。
もしかしたら、結構世間の人もこの "雪だるま式" を整理するとこうなる事に、案外気が付いていないのではないでしょうか？
それとも私だけ…
きっと私だけではない、と言う気持ちで最後までキチンと書いてみました。
遅くなってごめんなさいね。m( _ _ )m
"雪だるま式" と言う言葉に振り回されていた私です。
でも、その銀行員さんも「雪だるま式と違うんですか？」と私が質問した時に上記のごとく「雪だるま的な式を整理するとこうなるんですよ」と教えてくれればよかったのにねぇ…。なーんて、贅沢は言ってはいけませんね。
もしかしたら、結構世間の人もこの "雪だるま式" を整理するとこうなる事に、案外気が付いていないのではないでしょうか？
それとも私だけ…
きっと私だけではない、と言う気持ちで最後までキチンと書いてみました。
遅くなってごめんなさいね。m( _ _ )m
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