50代から理数を学ぶ - "分数の数列の和" に苦しみました…分部分数分解と言うテクニック

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時空解さんの日記

2019

6月 16

(日)

09:36

"分数の数列の和" に苦しみました…分部分数分解と言うテクニック

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カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

白チャート「新課程チャート式基礎と演習数学 II+B」の数列のところを学習しているところです。昨日は p416 の基礎例題７７に取り組んだんですけど…

分らない！

数列の第 $ k $ 項の方程式は下記の通りなのですが…。

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2k(2k+2) } $

こんな分数式をどうやってシグマ計算すりゃあいいんだい。
シグマの性質としては、足し算、引き算、をそれぞれに分けられるとか、定数の掛け算はシグマの前に出せるとかありますが、分数に関しては、そんな性質がありません。

と言うことで、この基礎例題７７のヒントを見てみると… Chart & Guide にこんな事が書かれていました。
・分部分数に分解せよ。
でも私にはチンプンカンプンでした。

分部分数の分解　？？？

？

で、調べてみたのですが、それでもイマイチよくわかりませんでした。
白チャート「新課程チャート式基礎と演習数学 II+B」の p34 の発展例題１８が、まさにこの "分部分数分解" の問題なのですが、いきなり公式が示されてしまっています。

$ \displaystyle { \frac{ 1 }{ (x-a)(x+b) } = \frac{ 1 }{ b-a } \cdot \left( \frac{ 1 }{ x+a } - \frac{ 1 }{ x+b } \right) } $

どうやってこの公式を導けばいいのだ…

結構悩んだのですが、分部分数分解の公式を導くためのヒントとなる基礎例題が「新課程チャート式基礎と演習数学 II+B」の中に、さらにあることを発見しました。
p20 の基礎例題９です。

参考になるサイトも見付けましたので、下記にそのサイトを示します。
・分数式の恒等式と係数比較
このテクニックを使えば、数列の基礎例題７７の分数を分部分数分解することが出来ます。

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2k(2k+2) } $　を $ \displaystyle { \frac{ a }{ 2k } - \frac{ b }{ 2k+2 } } $

と言う形に変形するためには、両辺に $ 2k(2k+2) $ を掛けて恒等式として係数を比較する、と言うことで $ a $ と $ b $ を求めることができます。
( 注意：$ k \neq 0, -1 $ )

$ 1 $ = $ a \cdot (2k+2) - b \cdot 2k $

上式を整理すると下記のようになります。

$ 0 \cdot k + 1 = 2(a-b) \cdot k + 2a $

$ k $ の恒等式なのだから

$ 2(a-b) = 0 $
$ 2a = 1 $

が成り立ちます。
おっと　

もうこんな時間ですね。ちょっと中途半端ですが、今日はこのへんで…

では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。

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