時空 解 さんの日記
2019
6月
26
(水)
10:05
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皆さん、おはようございます。時空 解です。
高校時代は階差数列の問題で「一般項を求めよ」と問われる、頭の中が真っ白になっていた私でした。
でも、やっとこさっとこ、ここ２、３日のうちに頭の中が整理できてきました。
でも、やっとこさっとこ、ここ２、３日のうちに頭の中が整理できてきました。
無精をしてキチンとノートに書かないのが悪いクセです。
さて、昨日は混乱している状況をブログに書きましたが、そんなのは何の役にも立ちませんので、今日は整理がついた状況を書いてみたいと思います。
まずは昨日取り上げた問題を再びここでも取り上げてみます。
まずは昨日取り上げた問題を再びここでも取り上げてみます。
この数列 ( $ \{ a_n \} $ とします ) の階差数列 ( $ \{ b_n \} $ とします ) を調べると下記のようになります。p423 Ex-193 次の数列の一般項を求めよ。
(3) 5, 7, 11, 19, 35, …
$ \{ a_n \} =~5~~~7~~~11~~~19~~~35~\cdots $
$ \{ b_n \} =~~~2~~~4~~~~~8~~~~16~\cdots$
$ \{ b_n \} =~~~2~~~4~~~~~8~~~~16~\cdots$
次に項数も分かるように、明記してみましょう。
$ \{ a_n \} =~a_1~~~a_2~~~a_3~~~a_4~~~a_5~\cdots $
$ \{ b_n \} =~~~~~b_1~~~b_2~~~~b_3~~~b_4~\cdots $
$ \{ a_n \} =~a_1~~~a_2~~~a_3~~~a_4~~~a_5~\cdots $
$ \{ b_n \} =~~~~~b_1~~~b_2~~~~b_3~~~b_4~\cdots $
階差数列 $ \{ b_n \} $ の求め方はわかりますよね。$ b_1 = a_2 - a_1,~ b_2 = a_3 - a_2,~ b_3 = a_3 - a_2,~ \cdots $ と順に引き算をして求めます。
では、ここで任意の $ a_n $ を見て取ってみましょう。
例えば、$ a_4 $ はどうでしょうか？ $ a_4 $ は赤い色でしました 19 です…
$ \{ a_n \} =~{\color[RGB]{00,00,255} 5}~~~7~~~11~~~{\color[RGB]{255,00,00} 19}~~~35~\cdots $
$ \{ b_n \} =~~~{\color[RGB]{00,00,255} 2}~~~{\color[RGB]{00,00,255} 4}~~~~~{\color[RGB]{00,00,255} 8}~~~~16~\cdots$
では、ここで任意の $ a_n $ を見て取ってみましょう。
例えば、$ a_4 $ はどうでしょうか？ $ a_4 $ は赤い色でしました 19 です…
$ \{ a_n \} =~{\color[RGB]{00,00,255} 5}~~~7~~~11~~~{\color[RGB]{255,00,00} 19}~~~35~\cdots $
$ \{ b_n \} =~~~{\color[RGB]{00,00,255} 2}~~~{\color[RGB]{00,00,255} 4}~~~~~{\color[RGB]{00,00,255} 8}~~~~16~\cdots$
この 19 は青い数字を全て足し合わせたものですよね。この事は階差数列を求める時に順々に引き算を行なったのだから理解出来ますよね。
もう一つ、$ a_2 $ についても確認しておきましょう。
$ \{ a_n \} =~{\color[RGB]{00,00,255} 5}~~~{\color[RGB]{255,00,00} 7}~~~11~~~19~~~35~\cdots $
$ \{ b_n \} =~~~{\color[RGB]{00,00,255} 2}~~~4~~~~~8~~~~16~\cdots$
$ \{ a_n \} =~{\color[RGB]{00,00,255} 5}~~~{\color[RGB]{255,00,00} 7}~~~11~~~19~~~35~\cdots $
$ \{ b_n \} =~~~{\color[RGB]{00,00,255} 2}~~~4~~~~~8~~~~16~\cdots$
同じように青い数字を足し合わせれば赤い数字になることが診てとれます。
つまり、数列 $ \{ a_n \} $ の一般項は、初項 $ a_1 $ と、階差数列 $ \{ b_n \} $ の $ (n-1) $ までの和を足し合わせれば求めることができます。
つまり、数列 $ \{ a_n \} $ の一般項は、初項 $ a_1 $ と、階差数列 $ \{ b_n \} $ の $ (n-1) $ までの和を足し合わせれば求めることができます。
昨日、上記のごとく書き並べてみてみて、やっと頭の中が整理出来初めて来たところです。
やってみると、どうしてこんな簡単なことに混乱をしていたのでしょうね…私…。
とにかく階差数列の一般項の方程式が分れば、後は $ (n-1) $ に注意するだけだと言うことが見て取れます。
おっと、
忘れてはいけませんが、初項 $ a_1 $ が一般項の方程式に一致しているか？ その確認も忘れずにね。
とにかく階差数列の一般項の方程式が分れば、後は $ (n-1) $ に注意するだけだと言うことが見て取れます。
おっと、
忘れてはいけませんが、初項 $ a_1 $ が一般項の方程式に一致しているか？ その確認も忘れずにね。
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