50代から理数を学ぶ - $ a_{n+1} = p \cdot a_n + q $ 型の漸化式の一般項を求める方法…どうして $ -c $ を使うの？

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時空解さんの日記

2019

7月 1

(月)

09:11

$ a_{n+1} = p \cdot a_n + q $ 型の漸化式の一般項を求める方法…どうして $ -c $ を使うの？

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カテゴリー数学

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皆さん、おはようございます。時空解です。

昨日も $ a_{n+1} = p \cdot a_n + q $ と言う形の漸化式の一般項の求め方について考えていました。
それで、やっとこさっとこ下記の Lecture の意味を理解できるようになったのですが…

でも、上記の中にでてくる (2) の式がどうも腑に落ちません。と言うのは、式そのものが分からないのではなく、どうして $ -c $ を使っているのか？です。
ここは変形できたとする式を $ a_{n+1} - c = p \cdot (a_n -c ) $ と想定するのではなく、$ a_{n+1} + c = p \cdot (a_n + c ) $ と想定しても何ら問題は発生しないと思うのですけどね…。

うーむ、理解に苦しみます。確かに $ a_{n+1} - c = p \cdot (a_n -c ) $ と想定したほうが後々の計算が美しい形になりますけどね。
$ c $ に付いて解くと最終的に
$ c = p \cdot c + q $

と言う形になりますからね。一方で $ a_{n+1} + c = p \cdot (a_n + c ) $ と想定してしまうと
$ -c = -p \cdot c + q $

となってしまい、美しくありません。ここで両辺にマイナスを掛けなくてはならなくなります。それでも
$ c = p \cdot c - q $

となって初めに漸化式の形 $ a_{n+1} = p \cdot a_n + q $ と一致しなくなります。

基本的には式を想定する時には、+ を使うのが一般的ですよね。
それをわざわざ－にすると言う事は、ここになにか重要な意味があるのでしょうかね？

これは今後の課題として押さえて行こうと思っています。

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