数検まで後１０日も無いと言うのに "不等式の証明" のところで足踏み状態が続いています。
うーむ、これはマズイ。

次の不等式を証明しなさい。
$ \left| a \right| + \left| b \right| \geqq \left| a + b \right| $

答
$ ( $左辺$ )^2$ - $ ( $右辺$ )^2 = ( \left| a \right| + \left| b \right| )^2 - \left| a + b \right|^2 $
$ = \left| a \right|^2 + 2 \left| a \right| \left| b \right| + \left| b \right|^2 - ( a+b )^2 $
$ = a^2 + 2 \left| ab \right| + b^2 - ( a^2 + 2ab + b^2 ) $
$ = 2( \left| ab \right| - ab ) $
絶対値の性質より、$ \left| ab \right| \geqq ab $ だから
$ 2( \left| ab \right| - ab ) \geqq 0 $　よって、
$ ( \left| a \right| + \left| b \right| )^2 - \left| a + b \right|^2 \geqq 0 $　より、
$ ( \left| a \right| + \left| b \right| )^2 \geqq \left| a + b \right|^2 $　であり、
$ \left| a \right| + \left| b \right| \geqq \left| a + b \right| $　は成り立つ。

等式が成り立つのは $ \left| ab \right| = ab $ のとき、すなわち $ ab \geqq 0 $ のときである。

以前学習た時には、この問題はスルーしていました。
大した問題じゃないと思っていたんです。なめて掛かっていたんですかねぇ…。

でも、昨日はどうして上記の証明で悩んでしまったのです。
$ 2 \left| a \right| \left| b \right| = 2 \left| ab \right| $ としていいのだと納得するためには
$ a $ がプラスの場合、マイナスの場合。それと $ b $ がプラスの場合、マイナスの場合の組み合わせを書き並べて実感する必要があります。
$ - \left| a + b \right|^2 = - ( a+b )^2 $ に付いても同様です。

こんな "書き並べ" なんて「やらなくてもいいや」と、以前は想えたのですけどね…。

今では納得がいかないのです…　　もしかしてこれは…歳のせい…　そう想いたくはありませんけどね。

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