50代から理数を学ぶ - $ 5^{12}, 6^{11}, 9^{10} $ の大小関係…どうして常用対数をとれば良いのか？

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$5^{12}, 6^{11}, 9^{10}$ の大小関係…どうして常用対数をとれば良いのか？

時空解さんの日記

2019

9月 24

(火)

09:50

$5^{12}, 6^{11}, 9^{10}$ の大小関係…どうして常用対数をとれば良いのか？

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カテゴリー数学検定

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

昨日書けなかったことを今日書いてみますね。対数の問題についてです。例にあげる問題は下記のブログでも取り上げましたね。
・例えば 81 と言う数量表記と

$\log_{ 10 } 81$ と言う数量表記

"実用数学技能検定要点整理２級" の p96 練習問題４です。

３つの数

$5^{12}, 6^{11}, 9^{10}$ を小さいほうから順に並べなさい。ただし、

$\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ とします。

上記の問題に対する "実用数学技能検定要点整理２級" の答は右に示す画像の通りです。いきなり常用対数を取っています。
でも、ここではいきなり常用対数を取らない方法で問題を解いてみましょう。

ますば与えられた数値

$5^{12}, 6^{11}, 9^{10}$ の大小関係を調べるには、実際に５を１２回掛け合わせたり６を１１回掛け合わせたり、９を１０回掛け合わせて、それぞれの数量を比較するのが一番です。

ですがそれでは桁数が大きくなって現実的ではないですよね。

次の考えられるのは、指数を揃えてみる、と言う方法です。
もし指数が同じ数字ならば、底の数字が大きいほど大きい数字だと分かりますよね。
例えば与えられている数字が

$5^{12}, 6^{11}, 9^{10}$ ではなくて

$5^{12}, 6^{12}, 9^{12}$

であればどうでしょうか？
これならば５を１２回掛け合わせた数量よりも、６を１２回掛け合わせた数量の方が大きくなると分かります。また９を１２回掛け合わせればもって多い数量になることが分かりますね。ですから与えられている数字

$5^{12}, 6^{11}, 9^{10}$ のもともとの数量を変えることなく、指数を統一出来れば大小関係が分ります。

でも、

$6^{11} = x^{12}$ や

$9^{10} = y^{12}$ と言う数式の

$x,~y$ の求め方なんて分かりますか？
私はわかりません。

では次に考えられるのは "底を揃えて指数の大小関係を調べる" と言う方法です。

これなら私、分かります。

対数には底の変換公式と言うのがありますからね。下記の公式です。

$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

これを利用すれば、底を変換できます。やってみましょう。

与えられている数字は

$5^{12}, 6^{11}, 9^{10}$ です。まずこれを

$5^{12} = A$ 　…(1)

$6^{11} = B$ 　…(2)

$9^{10} = C$ 　…(3)

と、それぞれ

$A,~B,~C$ と置いてみます。最終的にこの

$A,~B,~C$ の大小関係を導きます。
まずは (1), (2), (3) の指数表記を対数表記にしてみると

$\log_{ 5 } A = 12$ 　…(1)'

$\log_{ 6 } B = 11$ 　…(2)'

$\log_{ 9 } C = 10$ 　…(3)'

ですよね。これを底の変換公式を使って５、６、９を何か一つの底に変換しましょう。…何にしましょうかね？
５にしましょうか？それとも６？　９の方がいい？
どれでもいいのですけどね。底が統一さえされていれば大小関係が見えてきますからね。

まずは９に統一してみましょうか？　…そうすると下記のようになります。

$\dfrac { \log_{ 9 } A }{ \log_{ 9 } 5 } = 12$

$\dfrac { \log_{ 9 } B }{ \log_{ 9 } 6 } = 11$

$\dfrac { \log_{ 9 } C }{ \log_{ 9 } 9 } = 10$

となりますので、

$\log_{ 9 } A = 12 \cdot \log_{ 9 } 5$

$\log_{ 9 } B = 11 \cdot \log_{ 9 } 6$

$\log_{ 9 } C = 10 \cdot \log_{ 9 } 9 = 10 \cdot 1$

となります。最後の

$\log_{ 9 } 9$ は１とわかるので１０と言う数値が出て来ます。ここで

$\log_{ 9 } 5 ,~ \log_{ 9 } 6$ も数値が分かればいいのですけどねぇ…。

おっと、ここで問題文を想い出しました！　

問題文には「ただし、

$\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ とします。」と言う一文がありましたよね。
だったら底を９に統一するんじゃなくて１０に統一しておけばよかったですね。

底を１０に変換すると与えられた

$5^{12}, 6^{11}, 9^{10}$ は下記のようになります。

$\displaystyle {\log_{ 10 } A = 12 \cdot \log_{ 10 } 5 = 12 \cdot \log_{ 10 } \frac{ 10 }{ 2 } } = 12 \cdot ( \log_{ 10 } 10 - \log_{ 10 } 2 )$

$\log_{ 10 } B = 11 \cdot \log_{ 10 } 6 = 11 \cdot \log_{ 10 } 2 \cdot 3 = 11 \cdot ( \log_{ 10 } 2 + \log_{ 10 } 3 )$

$\log_{ 10 } C = 10 \cdot \log_{ 10 } 9 = 10 \cdot \log_{ 10 } 3 \cdot 3 = 10 \cdot ( \log_{ 10 } 3 + \log_{ 10 } 3 )$

上式を整理すると

$\log_{ 10 } A = 12 \cdot \log_{ 10 } 5 = 12 \cdot ( \log_{ 10 } 10 - \log_{ 10 } 2 ) = 12 \cdot ( 1 - 0.3010 ) = 8.388$

$\log_{ 10 } B = 11 \cdot \log_{ 10 } 6 = 11 \cdot ( \log_{ 10 } 2 + \log_{ 10 } 3 ) = 11 \cdot ( 0.3010 + 0.4771 ) = 8.5591$

$\log_{ 10 } C = 10 \cdot \log_{ 10 } 9 = 10 \cdot ( \log_{ 10 } 3 + \log_{ 10 } 3 ) = 10 \cdot ( 0.4771 + 0.4771 ) = 9.542$

となって最終的に

$A = 10^{8.388}$

$B = 10^{8.5591}$

$C = 10^{9.542}$

となります。

おっと、もうこんな時間だ…。

では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。

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