50代から理数を学ぶ - 1 から 2007 までの整数をすべてかけたとき、0 は一の位から続けていくつ並びますか。 → まずは 1 から 33 で検証

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時空解さんの日記

2019

12月 10

(火)

09:45

1 から 2007 までの整数をすべてかけたとき、0 は一の位から続けていくつ並びますか。 → まずは 1 から 33 で検証

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カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

今日も表題にもあるように、
・1 から 2007 までの整数をすべてかけたとき、0 は一の位から続けていくつ並びますか。
と言う問題に関連することを書いてみます。

・駒場東邦中学校　2007年2月1日過去問
　　算数 mat.pdf　問２

昨日は 1 から 10 の整数を１０進数表記と８進数表記のときの違いを見てみました。
ちょっと遠回りだったかも知れませんが ( すみません… (^^; ) 「１の位に０が付く」と言う桁上げと素因数の関係が見えたのではないでしょうか？

８進数のときの「１の位に０が付く」と言う桁上げは、

$1_8$ から

$12_8$ に含まれている全ての素因数の中の

$2_8$ の個数で決まりましたね。

$2_8$ が３つ集まるごとに０が付きます。

１０進数のときの「１の位に０が付く」と言う桁上げは、

$1$ から

$10$ に含まれる全ての素因数の中の

$2$ と

$5$ の個数、特に

$5$ の個数に依存しています。

今日はそれを確かめてみましょう。

では、これから

$2$ の個数と

$5$ の個数を数え上げてみます。
1 から 2007 までの整数に対してこれをやるのは現実的ではありませんので、まずは 1 から 33 までの整数でやってみました。

上に示した "1 から 33 までの整数の素因数分解表" をみて頂くとイメージが沸き易いと想います。

まずは

$2$ の個数からやってみましょう。

$1$ から

$33$ までの整数の中に素因数の

$2$ がいくつ含まれているかを調べる場合。

まずは

$2$ の倍数である整数の数を調べれば良いことは分かりますよね？

$2$ ,

$4$ ,

$6$ ,

$8$ ,

$10$ ,

$12$ ,

$14$ ,

$16$ ,

$18$ ,

$20$ ,

$22$ ,

$24$ ,

$26$ ,

$28$ ,

$30$ ,

$32$ です。

でも、4 の中にはもう一つ

$2$ が含まれています。8 の中にも、あと２つ含まれていますよね。

$2$ の個数は重複なく、漏れなく数え上げなくてはいけません。
これを頭の中でやろうとすると、重複しているのかいないのか？漏れはないのかがちょっと不安です。

ですから一度は "1 から 33 までの整数の素因数分解表" を作ってみるのが不安を解消する近道でしょう。そうすると、下に示すように、黄色い部分を順に調べて行くことが、重複なく漏れなく数え上げる方法だと分ると想います。

$2$ についてはこれで数え上げられると想います。

まとめると

$33$ は

$2^5$ よりも大きく

$2^6$ よりも小さいので、1 から 33 までの整数の中の素因数

$2$ を数えるには

$2$ の倍数の整数、

$2^2$ の倍数の整数、

$2^3$ の倍数の整数、

$2^4$ の倍数の整数、

$2^5$ の倍数の整数、それぞれの個数を数えればよい。

$5$ についても同じです。

$33$ は

$5^2$ よりも大きく

$5^3$ よりも小さいので、1 から 33 までの整数の中の素因数

$5$ を数えるには

$5$ の倍数の整数、

$5^2$ の倍数の整数、それぞれの個数を数えればよい。

あとは素因数

$2$ と

$5$ の一組

$2 \times 5 = 10$ なので、

$2 \times 5$ の組の個数がすなわち１の位にから並ぶ０の数になります。

これと同じことを "1 から 2007 までの整数をすべてかけたとき" に付いてもやってみれば、いよいよ答えがでます。

まず

$2007$ は

$2^10 \leqq 2007 \leqq 2^11$

$5^4 \leqq 2007 \leqq 5^5$

です。

ここで

$2$ の素因数の個数は

$5$ の素因数の個数よりも明らかに多いので、

$5$ の素因数の個数のみを調べればよい。

1 から 2007 までの整数の内、

$5$ の倍数の整数の数は

$2007 \div 5 = 401$ 余り

$2$
1 から 2007 までの整数の内、

$5^2$ の倍数の整数の数は

$2007 \div 5^2 = 80$ 余り

$7$
1 から 2007 までの整数の内、

$5^3$ の倍数の整数の数は

$2007 \div 5^3 = 16$ 余り

$7$
1 から 2007 までの整数の内、

$5^4$ の倍数の整数の数は

$2007 \div 5^4 = 3$ 余り

$132$

$401 + 80 + 16 + 3 = 500$

これで答が出ました。

問：1 から 2007 までの整数をすべてかけたとき、0 は一の位から続けていくつ並びますか。
答：

$500$ 個続けて並ぶ

では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。

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