50代から理数を学ぶ - 数検の記述式演習帳２級に掲載されている問題 ( 検算が関数電卓でできます ) を解いてみましょう

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時空解さんの日記

2020

1月 11

(土)

10:45

数検の記述式演習帳２級に掲載されている問題 ( 検算が関数電卓でできます ) を解いてみましょう

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カテゴリー数学検定

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

昨日、会員登録をされている方よりコメントを頂き、日本数学検定協会の書籍「記述式演習帳数学検定２級」に載っている問題を教えて頂きました。

----------
「記述式演習帳2級」Ｐ65の2問目ー数の桁数ー
　次の式を満たすＸは、何桁の整数ですか。
ただし　log10底 2 ＝0.3010　log10底 3＝0.4771　log10底 7＝0.8451　とします。

　Ｘ・9の9乗・7の7乗・5の5乗・3の3乗　÷　10の10乗・8の8乗・6の6乗・4の4乗・2の2乗　＝　1

（答え） 6桁
-----------

今日はこの問題を解いてみましょう。

私の手元には書籍「記述式演習帳数学検定２級」がありませんので正しく記述できるかは分かりませんが ( うーむ…緊張します… ( ^^; ) 書籍をお持ちの方は答えと照らし合わせながらご覧くださいね。

まずは与式の解釈ですが、下記の記述で良いと思います。

$x \times ( 9^9 \times 7^7 \times 5^5 \times 3^3 ) \div ( 10^{10} \times 8^8 \times 6^6 \times 4^4 \times 2^2 ) = 1$

これを

$x=$ の形に変形すると

$x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 8^8 \times 6^6 \times 4^4 \times 2^2 }{ 9^9 \times 7^7 \times 5^5 \times 3^3 }$

右辺を整理すると

$\displaystyle \frac{ 10^{10} \times (2^3)^8 \times (2 \cdot 3)^6 \times (2^2)^4 \times 2^2 } { (3^2)^9 \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 \times 3^3 } = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{24} \times (2^6 \cdot 3^6) \times 2^8 \times 2^2 } { 3^{18} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 \times 3^3 } = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 } { 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 }$

従って

$x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 } { 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 }$

ここで

$A = 10^{10}$ ,　

$B = 2^{40}$ ,　

$C = 3^6$ ,　

$D = 3^{21}$ ,　

$E = 7^7$ ,　

$F = \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5$

とそれぞれ置き、A, B, C, D, E, F の

$\log$ を取ると

$\log_{ 10 } A = 10$ ,　

$\log_{ 2 } B = 40$ ,　

$\log_{ 3 } C = 6$ ,　

$\log_{ 3 } D = 21$ ,　

$\log_{ 7 } E = 7$ ,　

$\log_{ \frac{ 10 }{ 2 } } F = 5$

底を常用定数に揃えて指数表記に戻す

$\displaystyle \frac{ \log_{ 10 } A }{ \log_{ 10 } 10 } = 10$ ,　なので、

$\log_{ 10 } A = 10 \cdot \log_{ 10 } 10$ ,　指数表記に戻すと

$A = 10^{10 \cdot \log_{ 10 } 10} = 10^{10}$

$\displaystyle \frac{ \log_{ 10 } B }{ \log_{ 10 } 2 } = 40$ ,　なので、

$\log_{ 10 } B = 40 \cdot \log_{ 10 } 2$ ,　指数表記に戻すと

$B = 10^{40 \cdot \log_{ 10 } 2}$

$\displaystyle \frac{ \log_{ 10 } C }{ \log_{ 10 } 3 } = 6$ ,　なので、

$\log_{ 10 } C = 6 \cdot \log_{ 10 } 3$ ,　指数表記に戻すと

$C = 10^{6 \cdot \log_{ 10 } 3}$

$\displaystyle \frac{ \log_{ 10 } D }{ \log_{ 10 } 3 } = 21$ ,　なので、

$\log_{ 10 } D = 21 \cdot \log_{ 10 } 3$ ,　指数表記に戻すと

$D = 10^{21 \cdot \log_{ 10 } 3}$

$\displaystyle \frac{ \log_{ 10 } E }{ \log_{ 10 } 7 } = 7$ ,　なので、

$\log_{ 10 } E = 7 \cdot \log_{ 10 } 7$ ,　指数表記に戻すと

$E = 10^{7 \cdot \log_{ 10 } 7}$

$\displaystyle \frac{ \log_{ 10 } F }{ \log_{ 10 } \frac{ 10 }{ 2 } } = 5$ ,　なので、

$\log_{ 10 } F = 5 \cdot ( \log_{ 10 } 10 - \log_{ 10 } 2 )$ ,　指数表記に戻すと

$F = 10^{5 \cdot ( \log_{ 10 } 10 - \log_{ 10 } 2 )} = 10^{5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )}$

従って

$x$ は

$x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 } { 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 } = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 10^{40 \cdot \log_{ 10 } 2} \times 10^{6 \cdot \log_{ 10 } 3} } { 10^{21 \cdot \log_{ 10 } 3} \times 10^{7 \cdot \log_{ 10 } 7} \times 10^{5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )} } = \displaystyle \frac{ 10^{(10) + (40 \cdot \log_{ 10 } 2) + (6 \cdot \log_{ 10 } 3) }} { 10^{(21 \cdot \log_{ 10 } 3) + (7 \cdot \log_{ 10 } 7) + (5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )) }}$

$= 10^{ ((10) + (40 \cdot \log_{ 10 } 2) + (6 \cdot \log_{ 10 } 3)) - ((21 \cdot \log_{ 10 } 3) + (7 \cdot \log_{ 10 } 7) + (5 - 5 \cdot \log_{ 10 } 2 )) } = 10^{ 10 - 5 + 45 \cdot \log_{ 10 } 2 - 15 \cdot \log_{ 10 } 3 - 7 \cdot \log_{ 10 } 7 }$

$\log_{ 10 } 2 = 0.3010,~ \log_{ 10 } 3 = 0.4771,~\log_{ 10 } 7 = 0.8451$ より

$10^{ 10 - 5 +45 \cdot 0.3010 - 15 \cdot 0.4771 - 7 \cdot 0.8451 } = 10^{5.4728}$
となるので、

$x = 10^{0.4728} \times 10^{5}$ となり、整数部は６桁となる。

答　６桁。

うーむ、でもこれでは長すぎますよね。
２次検定の答案用紙に書ききれるかどうか…

書籍「記述式演習帳数学検定２級」をお持ちの方は、答をちゃんと見て学習して下さいね。
私の記述が参考なると幸いです。

この問題はかなりの計算を要しますので、検算をすることが大切でしょう。
検算は関数電卓で出来ます。操作手順は動画にして YouTube にアップする予定ですので楽しみに…。

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