時空 解 さんの日記
2020
1月
11
(土)
10:45
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
昨日、会員登録をされている方よりコメントを頂き、日本数学検定協会の書籍「記述式演習帳 数学検定２級」に載っている問題を教えて頂きました。
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「記述式演習帳2級」Ｐ65の2問目ー数の桁数ー
次の式を満たすＸは、何桁の整数ですか。
ただし log10底 2 ＝0.3010 log10底 3＝0.4771 log10底 7＝0.8451 とします。
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「記述式演習帳2級」Ｐ65の2問目ー数の桁数ー
次の式を満たすＸは、何桁の整数ですか。
ただし log10底 2 ＝0.3010 log10底 3＝0.4771 log10底 7＝0.8451 とします。
Ｘ ・9の9乗・7の7乗・5の5乗・3の3乗 ÷ 10の10乗・8の8乗・6の6乗・4の4乗・2の2乗 ＝ 1
（答え） 6桁
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今日はこの問題を解いてみましょう。
私の手元には書籍「記述式演習帳 数学検定２級」がありませんので正しく記述できるかは分かりませんが ( うーむ…緊張します… ( ^^; ) 書籍をお持ちの方は答えと照らし合わせながらご覧くださいね。
まずは与式の解釈ですが、下記の記述で良いと思います。
$ x \times ( 9^9 \times 7^7 \times 5^5 \times 3^3 ) \div ( 10^{10} \times 8^8 \times 6^6 \times 4^4 \times 2^2 ) = 1 $
$ x \times ( 9^9 \times 7^7 \times 5^5 \times 3^3 ) \div ( 10^{10} \times 8^8 \times 6^6 \times 4^4 \times 2^2 ) = 1 $
これを $ x= $ の形に変形すると
$ x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 8^8 \times 6^6 \times 4^4 \times 2^2 }{ 9^9 \times 7^7 \times 5^5 \times 3^3 } $
$ x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 8^8 \times 6^6 \times 4^4 \times 2^2 }{ 9^9 \times 7^7 \times 5^5 \times 3^3 } $
右辺を整理すると
$ \displaystyle \frac{ 10^{10} \times (2^3)^8 \times (2 \cdot 3)^6 \times (2^2)^4 \times 2^2 } { (3^2)^9 \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 \times 3^3 }
= \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{24} \times (2^6 \cdot 3^6) \times 2^8 \times 2^2 } { 3^{18} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 \times 3^3 }
= \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 } { 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 } $
$ \displaystyle \frac{ 10^{10} \times (2^3)^8 \times (2 \cdot 3)^6 \times (2^2)^4 \times 2^2 } { (3^2)^9 \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 \times 3^3 }
= \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{24} \times (2^6 \cdot 3^6) \times 2^8 \times 2^2 } { 3^{18} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 \times 3^3 }
= \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 } { 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 } $
従って
$ x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 } { 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 } $
$ x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 } { 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 } $
ここで
$ A = 10^{10} $, $ B = 2^{40} $, $ C = 3^6 $, $ D = 3^{21} $, $ E = 7^7 $, $ F = \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 $
$ A = 10^{10} $, $ B = 2^{40} $, $ C = 3^6 $, $ D = 3^{21} $, $ E = 7^7 $, $ F = \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 $
とそれぞれ置き、A, B, C, D, E, F の $ \log $ を取ると
$ \log_{ 10 } A = 10 $, $ \log_{ 2 } B = 40 $, $ \log_{ 3 } C = 6 $, $ \log_{ 3 } D = 21 $, $ \log_{ 7 } E = 7 $, $ \log_{ \frac{ 10 }{ 2 } } F = 5 $
$ \log_{ 10 } A = 10 $, $ \log_{ 2 } B = 40 $, $ \log_{ 3 } C = 6 $, $ \log_{ 3 } D = 21 $, $ \log_{ 7 } E = 7 $, $ \log_{ \frac{ 10 }{ 2 } } F = 5 $
底を常用定数に揃えて指数表記に戻す
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } A }{ \log_{ 10 } 10 } = 10 $, なので、$ \log_{ 10 } A = 10 \cdot \log_{ 10 } 10 $, 指数表記に戻すと $ A = 10^{10 \cdot \log_{ 10 } 10} = 10^{10} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } B }{ \log_{ 10 } 2 } = 40 $, なので、$ \log_{ 10 } B = 40 \cdot \log_{ 10 } 2 $, 指数表記に戻すと $ B = 10^{40 \cdot \log_{ 10 } 2} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } C }{ \log_{ 10 } 3 } = 6 $, なので、$ \log_{ 10 } C = 6 \cdot \log_{ 10 } 3 $, 指数表記に戻すと $ C = 10^{6 \cdot \log_{ 10 } 3} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } D }{ \log_{ 10 } 3 } = 21 $, なので、$ \log_{ 10 } D = 21 \cdot \log_{ 10 } 3 $, 指数表記に戻すと $ D = 10^{21 \cdot \log_{ 10 } 3} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } E }{ \log_{ 10 } 7 } = 7 $, なので、$ \log_{ 10 } E = 7 \cdot \log_{ 10 } 7 $, 指数表記に戻すと $ E = 10^{7 \cdot \log_{ 10 } 7} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } F }{ \log_{ 10 } \frac{ 10 }{ 2 } } = 5 $, なので、$ \log_{ 10 } F = 5 \cdot ( \log_{ 10 } 10 - \log_{ 10 } 2 ) $, 指数表記に戻すと $ F = 10^{5 \cdot ( \log_{ 10 } 10 - \log_{ 10 } 2 )} = 10^{5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } A }{ \log_{ 10 } 10 } = 10 $, なので、$ \log_{ 10 } A = 10 \cdot \log_{ 10 } 10 $, 指数表記に戻すと $ A = 10^{10 \cdot \log_{ 10 } 10} = 10^{10} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } B }{ \log_{ 10 } 2 } = 40 $, なので、$ \log_{ 10 } B = 40 \cdot \log_{ 10 } 2 $, 指数表記に戻すと $ B = 10^{40 \cdot \log_{ 10 } 2} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } C }{ \log_{ 10 } 3 } = 6 $, なので、$ \log_{ 10 } C = 6 \cdot \log_{ 10 } 3 $, 指数表記に戻すと $ C = 10^{6 \cdot \log_{ 10 } 3} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } D }{ \log_{ 10 } 3 } = 21 $, なので、$ \log_{ 10 } D = 21 \cdot \log_{ 10 } 3 $, 指数表記に戻すと $ D = 10^{21 \cdot \log_{ 10 } 3} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } E }{ \log_{ 10 } 7 } = 7 $, なので、$ \log_{ 10 } E = 7 \cdot \log_{ 10 } 7 $, 指数表記に戻すと $ E = 10^{7 \cdot \log_{ 10 } 7} $
$ \displaystyle \frac{ \log_{ 10 } F }{ \log_{ 10 } \frac{ 10 }{ 2 } } = 5 $, なので、$ \log_{ 10 } F = 5 \cdot ( \log_{ 10 } 10 - \log_{ 10 } 2 ) $, 指数表記に戻すと $ F = 10^{5 \cdot ( \log_{ 10 } 10 - \log_{ 10 } 2 )} = 10^{5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )} $
従って $ x $ は
$ x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 }
{ 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 }
= \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 10^{40 \cdot \log_{ 10 } 2} \times 10^{6 \cdot \log_{ 10 } 3} }
{ 10^{21 \cdot \log_{ 10 } 3} \times 10^{7 \cdot \log_{ 10 } 7} \times 10^{5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )} }
= \displaystyle \frac{ 10^{(10) + (40 \cdot \log_{ 10 } 2) + (6 \cdot \log_{ 10 } 3) }}
{ 10^{(21 \cdot \log_{ 10 } 3) + (7 \cdot \log_{ 10 } 7) + (5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )) }} $
$ = 10^{ ((10) + (40 \cdot \log_{ 10 } 2) + (6 \cdot \log_{ 10 } 3)) - ((21 \cdot \log_{ 10 } 3) + (7 \cdot \log_{ 10 } 7) + (5 - 5 \cdot \log_{ 10 } 2 )) }$ x = \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 2^{40} \times 3^6 }
{ 3^{21} \times 7^7 \times \left( {\displaystyle \frac{ 10 }{ 2 }} \right )^5 }
= \displaystyle \frac{ 10^{10} \times 10^{40 \cdot \log_{ 10 } 2} \times 10^{6 \cdot \log_{ 10 } 3} }
{ 10^{21 \cdot \log_{ 10 } 3} \times 10^{7 \cdot \log_{ 10 } 7} \times 10^{5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )} }
= \displaystyle \frac{ 10^{(10) + (40 \cdot \log_{ 10 } 2) + (6 \cdot \log_{ 10 } 3) }}
{ 10^{(21 \cdot \log_{ 10 } 3) + (7 \cdot \log_{ 10 } 7) + (5 \cdot ( 1 - \log_{ 10 } 2 )) }} $
= 10^{ 10 - 5 + 45 \cdot \log_{ 10 } 2 - 15 \cdot \log_{ 10 } 3 - 7 \cdot \log_{ 10 } 7 } $
$ \log_{ 10 } 2 = 0.3010,~ \log_{ 10 } 3 = 0.4771,~\log_{ 10 } 7 = 0.8451 $ より
$ 10^{ 10 - 5 +45 \cdot 0.3010 - 15 \cdot 0.4771 - 7 \cdot 0.8451 }
= 10^{5.4728} $
となるので、$ x = 10^{0.4728} \times 10^{5} $ となり、整数部は６桁となる。
答 ６桁。
うーむ、でもこれでは長すぎますよね。
２次検定の答案用紙に書ききれるかどうか…
２次検定の答案用紙に書ききれるかどうか…
書籍「記述式演習帳 数学検定２級」をお持ちの方は、答をちゃんと見て学習して下さいね。
私の記述が参考なると幸いです。
私の記述が参考なると幸いです。
この問題はかなりの計算を要しますので、検算をすることが大切でしょう。
検算は関数電卓で出来ます。操作手順は動画にして YouTube にアップする予定ですので楽しみに…。
検算は関数電卓で出来ます。操作手順は動画にして YouTube にアップする予定ですので楽しみに…。
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