時空 解 さんの日記
2020
2月
20
(木)
10:04
前の日記
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皆さん、おはようございます。時空 解です。
今日は昨日の続きです。どうして絶対値記号わ使わないのか、その解釈が自分なりに出来ましたのでご報告したいと思います。
あくまでも個人的な解釈ですので、そこのところをご了承下さいね。
ちゃんと歴史的・数学的に調べた訳ではありませんよ…。
ちゃんと歴史的・数学的に調べた訳ではありませんよ…。
絶対値記号が世に出回ったのがカール・ワイエルストラスが１８４１年に導入した記号でした。
絶対値という用語でさえ、アルガンと言う人が１８０６年に導入した概念でした。
それと比べると、２次方程式の解の公式に付いては、Wikipedia の「発展の歴史」に書かれているように、ルネ・デカルトが１６３７年に書いた "La Géométrie（英語版）" の中に現代の形のものが書かれているようです。
このことから推察するに、当然、２次方程式の解の公式を導く時に絶対値記号なんて使われるはずもないのです。
絶対値という用語でさえ、アルガンと言う人が１８０６年に導入した概念でした。
それと比べると、２次方程式の解の公式に付いては、Wikipedia の「発展の歴史」に書かれているように、ルネ・デカルトが１６３７年に書いた "La Géométrie（英語版）" の中に現代の形のものが書かれているようです。
このことから推察するに、当然、２次方程式の解の公式を導く時に絶対値記号なんて使われるはずもないのです。
まずはこれが１点目。"解の公式" は絶対値記号が世に出る前からすでに有った、のです。
それと、平方完成の形からいったん絶対値記号を使って変形を行っても、最終的な形を導くと結果は同じになるでしょう。
$ {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} $
等式が平方完成された。等式の両辺の平方根を取ることで次の式を得る。
$ { \left| \displaystyle x+{\frac {b}{2a}} \right| = \displaystyle {\frac { | \sqrt {b^{2}-4ac\ } | }{ | 2a | }} } $
$ { \pm \left( \displaystyle x+{\frac {b}{2a}} \right) = \displaystyle {\frac { \pm \sqrt {b^{2}-4ac\ }}{ \pm 2a}} } $
上記３つの $ \pm $ を一つにまとめる。
$ {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}} $
上記３つの $ \pm $ を一つにまとめる。
$ {\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}} $
【2020年2月20日、23時30分：黄色の部分は間違いでした。申し訳ありません。m( _ _ )m 】
たとえば
$ 3x^2 - 7x + 5 = 0 $
に付いて絶対値記号を使っている式に係数を代入してみましょう。
すると
$ { \left| \displaystyle x+{\frac {-7}{2 \cdot 3}} \right| = \left| \displaystyle {\frac {\sqrt {(-7)^{2}-4 \cdot 3 \cdot 5 \ }}{2 \cdot 3}} \right| } $
ですから、
左辺に付いては $ x \geqq \displaystyle \frac{ 7 }{ 6 } $ の時 $ + \left( \displaystyle x+{\frac {-7}{2 \cdot 3}} \right) $。$ x \lt \displaystyle \frac{ 7 }{ 6 } $ の時 $ - \left( \displaystyle x+{\frac {-7}{2 \cdot 3}} \right) $。
左辺の分母に付いては + ですね。問題は左辺の分子ですが、これは虚数単位を導入すると言うことで歴史的に解決していますよね。
$ 3x^2 - 7x + 5 = 0 $
に付いて絶対値記号を使っている式に係数を代入してみましょう。
すると
$ { \left| \displaystyle x+{\frac {-7}{2 \cdot 3}} \right| = \left| \displaystyle {\frac {\sqrt {(-7)^{2}-4 \cdot 3 \cdot 5 \ }}{2 \cdot 3}} \right| } $
ですから、
左辺に付いては $ x \geqq \displaystyle \frac{ 7 }{ 6 } $ の時 $ + \left( \displaystyle x+{\frac {-7}{2 \cdot 3}} \right) $。$ x \lt \displaystyle \frac{ 7 }{ 6 } $ の時 $ - \left( \displaystyle x+{\frac {-7}{2 \cdot 3}} \right) $。
左辺の分母に付いては + ですね。問題は左辺の分子ですが、これは虚数単位を導入すると言うことで歴史的に解決していますよね。
両辺に $ \pm $ を書くのはいささかスマートではありませんので、まとめて右辺の先頭に $ \pm $ を付けるのだと思います。
まぁ個人的にはこんな解釈です。皆さん、ご納得して頂けたでしょうか？
では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。
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