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時空 解 さんの日記

 
2020
3月 11
(水)
09:43
理解に苦しんだ、$ x = 3 $ ならば $ x^2 = 9 $ の対偶
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
 
昨日はチャート式数学Iの p97、基本例題 55 の問題 (2) に四苦八苦していました。難易度は教科書の例題レベルなのですが…
 
$ x = 3 $ ならば $ x^2 = 9 $ ( $ x $ は実数 ) と言う命題です。仮定が $ x = 3 $ 、結論が $ x^2 = 9 $ 。
この対偶をとるのは簡単でした。
 
$ x^2 \neq 9 $ ならば $ x \neq 3 $
 
これが対偶です。
 
でもですね…この真偽を考えた場合、この対偶が 真 だと思えなかった私です。
もとの命題が 真 であれば、その対偶も 真 であることは知っています。でもねぇ…。
 
初めの命題「 $ x = 3 $ ならば $ x^2 = 9 $ 」は、まぁ $ x^2 = 9 $ は $ -3 $ に対しても正しいですが、仮定が $ x = 3 $ のみであっても依然として $ x^2 = 9 $ は正しいですよね。 
でもこの対偶は「 $ x^2 \neq 9 $ ならば $ x \neq 3 $ 」と言うことなので…$ x $ が $ -3 $ かまたは $ 3 $ 以外の実数ならば $ x $ は $ 3 $ 以外である、と言っているのです。
これって、正しいですか?
 
うーむ…悩みました。
 
$ x^2 \neq 9 $ と言う仮定ならば $ x \neq -3 $ とすると $ x = 3 $ は有り得ますよね。じゃぁ対偶は 偽 と言うことになりませんか?
おかしいじゃないか…うーむ
 

 
と、まぁこんな風に考えていたので、私は混乱していたのです。

$ x^2 \neq 9 $ と言う仮定を「$ x \neq -3 $ かまたは $ x \neq 3 $ 」と解釈していました。でも、本当は
$ x^2 \neq 9 $ と言う仮定は「$ x \neq -3 $ であると同時に $ \neq 3 $」と解釈すべきなんでしょう。
 
これで合ってますかね?汗

 チャート式数学に書かれているこの問題の答えは
「もとの命題が 真 であるので 真」 えっ!
と言うものです。

 …不親切だ。ううっ
 
ともかく、この歳になるまでずっと、この間違った感覚で数学をやってたんですかね?私は…。

これからもこの点には気を付けないとね。
 
では今日も休日を始めます。休日の充実こそ、人生の充実です。
 

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