皆さん、おはようございます。時空 解です。

今日は書籍【完全版】天才ガロアの発想を読んで、その内容と感想を想いつくままに書きて行こうと思っています。

今回は書籍 (kindle 版) の
・p33 有理数の拡大体はいろいろある
までを読んだ感想、およびポイントをまとめておきますね。

まずポイントとして、有理数の集合を $ Q $ とすると、$ Q $ に対して集合を大きくすることを拡大と言っているのですが、まずはそれはなんのことはない言い回しですよね。でも四則演算について閉じている拡大をする場合、この後に "体" を付けて呼ぶのです。

有理数の集合を大きく (拡大) するために、書籍では例として $ \sqrt{ 2 } $ を１つだけを加えています。
これを表記する記号として２つ登場します。

・$ Q \cup \{ \sqrt{ 2 } \} $
・$ Q ( \sqrt{ 2 } ) $

この記号の違いをちゃんと頭の中で区別できるようにすることが大切でしょう。個人的には、一度サラサラとこの記号の説明を読み進んだのですが、後で大きな違いに気が付きました。

$ Q \cup \{ \sqrt{ 2 } \} $ の方は有理数と言う無限個の集合に、たった１個 $ \sqrt{ 2 } $ を加えただけの集合です。
それに対して $ Q ( \sqrt{ 2 } ) $ の方は、有理数と言う無限にある要素 ( $ 7 $ とか $ \displaystyle \frac{ 2 }{ 3 } $ とか ) 全てと $ \sqrt{ 2 } $ とを四則演算して出てくる結果の値全てをも含む集合なんですよ。

凄い違いです。

まぁ視覚イメージとしては $ Q \cup \{ \sqrt{ 2 } \} $ の方が数直線 (１次元 ) としたら、$ Q ( \sqrt{ 2 } ) $ の方は座標平面 ( ２次元 ) と言った感じです。
$ Q ( \sqrt{ 2 } ) $ の個々の要素を表す数式は下記の１つでできることも説明されています。

・( 有理数 ) + ( 有理数 )$ \cdot \sqrt{ 2 } $ なる数全体

要素どうし、足したり引いたり掛けたり割ったりしても、また上記の形で表現できる数になることから $ Q ( \sqrt{ 2 } ) $ は四則演算に対して閉じているのだそうです。

いやはや、細かいと言うか何と言うか…。

でも、これで "体" と言うものをイメージ出来そうです。

では今日も休日を始めます。休日の充実こそ、人生の充実です。

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