時空 解 さんの日記
2020
3月
31
(火)
08:56
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
書籍「【完全版】天才ガロアの発想力」を必ず理解しようと思って読み進めているのですが、直ぐに理解が怪しくなります。
昨日も書籍を読み返してみて
・体 $ Q(\sqrt{ 2 } $ の自己同型は2種類ある
と言う p40 の節の表題をみて、首をひねってしまいました。
「自己同型ってなんだっけ?」
・体 $ Q(\sqrt{ 2 } $ の自己同型は2種類ある
と言う p40 の節の表題をみて、首をひねってしまいました。
「自己同型ってなんだっけ?」
まったく覚えていません。
やっぱりこう言うのは読み流すだけでは頭に入らないんですよね。
読み返してみたら、自己同型と言うにはこんなことでした。
読み返してみたら、自己同型と言うにはこんなことでした。
体 $ K $ の数を 体 $ K $ の他の数に対応させる写像 $ f $ の中で、とりわけ次の性質をすべて満たすもの。
(1) 二つの異なる数が同じ数に対応することはない。つまり、「 $ x \neq y $ ならば $ f(x) \neq f(y) $ 」。これは次のように言い換えることが可能です。すなわち、「 $ f(x) = f(y) $ ならば $ x = y $ 」。ちなみにこのような写像を「単射」といいます。
(2) どの数 $ y $ にもそれに対応する $ x $ が存在する。つまり、どの $ y $ にも $ f(x) = y $ を満たす $ x $ がある。このような写像は、全射と呼ばれます。
以上の (1) (2) を合わせて、「写像 $ f $ は全単射である」といいます。
(3) $ f $ によって四則計算は保存される。すなわち、足し算の保存:$ x + y = z $ ならば $ f(x) + f(y) = f(z) $。(あるいは、$ f(x+y) = f(x) + f(y) $ )引き算の保存:$ x - y = z $ ならば $ f(x) - f(y) = f(z) $。(あるいは、$ f(x-y) = f(x) - f(y) $ )掛け算の保存:$ x × y = z $ ならば $ f(x) × f(y) = f(z) $。(あるいは、$ f(x×y) = f(x) × f(y) $ )割り算の保存:$ x ÷ y = z $ ならば $ f(x) ÷ f(y) = f(z) $。(あるいは、$ f(x÷y) = f(x) ÷ f(y) $ )
いやはや、これら(1), (2), (3) の性質をすべて満たすものを「 $ K $ の自己同型」と言うんでした。
ちなみに $ K $ とは、この書籍では
$ K = Q(\sqrt{ 2 }) $
という体のことを言っています。
ちなみに $ K $ とは、この書籍では
$ K = Q(\sqrt{ 2 }) $
という体のことを言っています。
2次方程式 $ ax^2 + bx +c = 0 $ とか、これよりも次数の大きい、3次方程式、4次方程式…。そして5次方程式の解…これが有るか否かを考えて「自己同型」みたいな事を考え始めたガロアは、やっぱり変な奴です。
でも、ゴールは頭の中でイメージ出来ていたんでしょうね。細かいことを考え進めて行って、最後には新しい数学に辿り着いたのですから。
私の頭ではまだまだ混乱してしまいます。 …小学1年生の時に足し算、引き算を覚え始めた頃の気持ちを想い出す感じでもあります…。
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