まったく覚えていません。

体 $ K $ の数を 体 $ K $ の他の数に対応させる写像 $ f $ の中で、とりわけ次の性質をすべて満たすもの。
 

(1) 二つの異なる数が同じ数に対応することはない。

つまり、「 $ x \neq y $ ならば $ f(x) \neq f(y) $ 」。これは次のように言い換えることが可能です。すなわち、「 $ f(x) = f(y) $ ならば $ x = y $ 」。ちなみにこのような写像を「単射」といいます。

(2) どの数 $ y $ にもそれに対応する $ x $ が存在する。

つまり、どの $ y $ にも $ f(x) = y $ を満たす $ x $ がある。このような写像は、全射と呼ばれます。 

以上の (1) (2) を合わせて、「写像 $ f $ は全単射である」といいます。 

(3) $ f $ によって四則計算は保存される。すなわち、

足し算の保存：$ x + y = z $ ならば $ f(x) + f(y) = f(z) $。

(あるいは、$ f(x+y) = f(x) + f(y) $ )

引き算の保存：$ x - y = z $ ならば $ f(x) - f(y) = f(z) $。

(あるいは、$ f(x-y) = f(x) - f(y) $ )

掛け算の保存：$ x × y = z $ ならば $ f(x) × f(y) = f(z) $。

(あるいは、$ f(x×y) = f(x) × f(y) $ )

割り算の保存：$ x ÷ y = z $ ならば $ f(x) ÷ f(y) = f(z) $。

(あるいは、$ f(x÷y) = f(x) ÷ f(y) $ )

２次方程式 $ ax^2 + bx +c = 0 $ とか、これよりも次数の大きい、３次方程式、４次方程式…。そして５次方程式の解…これが有るか否かを考えて「自己同型」みたいな事を考え始めたガロアは、やっぱり変な奴です。
でも、ゴールは頭の中でイメージ出来ていたんでしょうね。細かいことを考え進めて行って、最後には新しい数学に辿り着いたのですから。

私の頭ではまだまだ混乱してしまいます。　…小学１年生の時に足し算、引き算を覚え始めた頃の気持ちを想い出す感じでもあります…。

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千里の道も一歩から。そしてその道は登り坂です。ローマは１日にして成らず、です。

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