50代から理数を学ぶ - $ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ ∞ } \displaystyle \frac{ 1 }{ k^2 } = \frac{ {\pi}^2 }{ 6 } $ から知った解析接続

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時空解さんの日記

2020

4月 6

(月)

10:00

$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ ∞ } \displaystyle \frac{ 1 }{ k^2 } = \frac{ {\pi}^2 }{ 6 } $ から知った解析接続

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カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

皆さんは解析接続をご存知でしたでしょうか？
恥ずかしながら私は昨日知った次第です。

昨日、オイラーが導いたとされる素数に関する美しい式に付いて、fx-JP900 でちょっと計算してみようと思ったんですよね。
それでちょっと調べていたら $ \zeta (s) $ が出てきてね。これが

$ \zeta (s)=\displaystyle { \displaystyle \frac{ 1 }{ 1^s } + \frac{ 1 }{ 2^s } + \frac{ 1 }{ 3^s } + \frac{ 1 }{ 4^s } + … } $

なんて等式が有ったものだから、計算してみたんですよ…。

$ \zeta (s) $ に付いて、自明なゼロ点　と言うことを良く目にしますよね。リーマン予想に出てくる　自明でないゼロ点　とともによく目にします。
「なんだ、自明なゼロ点ってこんな式なんだ」
だと思って実際に fx-JP900 で計算してみたら…　

　項数を増やすと、ドンドンと数字が大きくなる。

？

ちょっと考えれば分かることですが、例えば $ \zeta (-2) $ をやってみると $ 1 + 2^2 + 3^3 + 4^2 + … $ と同じで、無限大になるのは必答です。

なんでこれが自明なゼロ点なの？　と思ってパソコンで検索 (今の時代、本当に便利になりました) していたら、解析接続と言う方法が有るんですってね。

以下、hiroyukikojima’s blog　の　オイラーはやっぱりとんでもなくスゴイとわかる本　より抜粋

オイラーは、ゼータ関数を積分で表示する式を発見している。リーマンはこの式を土台にして、解析接続という方法を開発した。解析接続とは、(sの実部)>1でしか通常の意味では収束しないゼータ関数を全複素数に拡張する重要な方法論だ。

この解析接続…かなり手ごわそうです。でも YouTube には、既にかなりの数の解説動画もあるんですよね。
( …まったく自分の知識が中学生レベルだと痛感します。まぁこんな反省はともかく… )

昨日はその一つ、二つを拝聴していました。
そのせいで夜寝るのが遅くなってしまったのですが、若かったらもっと拝聴して勉強したいところでした。

ともかく $ 1 + 2 + 3 + 4 + … = \displaystyle - \frac{ 1 }{ 12 } $ なんてことにもなるんですね。
驚きですし、楽しいですよ。上記の等式の解説は下記の動画が良いのではないでしょうか。
・【衝撃】解析接続してみたらまさかの結果に！！！

解析接続そのものに付いての解説動画は、下記が参考になりました。
・自然数の無限積は【解析接続とは？】/ The infinite product of natural numbers is sqrt(2*pi).

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