時空 解 さんの日記
2020
4月
27
(月)
09:42
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
２ヶ月前ほどのこと。２月２０日に２次方程式の解の公式の証明に付いて自分の考え方を書きました。
・２次方程式の解の公式…平方完成の形から $ \sqrt{ } $ を取る時、どうして絶対値記号を使わずに ± 記号なのかの解釈
・２次方程式の解の公式…平方完成の形から $ \sqrt{ } $ を取る時、どうして絶対値記号を使わずに ± 記号なのかの解釈
この時には、まだ平方完成から解の公式を導き出すときに、どうして絶対値記号を使わないのか納得できなかったのですが…。
昨日、なんとか理解できるようになりました。
昨日、なんとか理解できるようになりました。
当時は $ \sqrt{ A^2 } $ のルートの外し方を学んだところだったので、意地になって絶対値記号を使おうとしていたんですね。当時は動画「fx JP900 015 l -5i l を試してみよう」も作成した後だったので、絶対値記号に敏感になっていました。
$ \sqrt{ A^2 } $ のルートの外し方解説動画の一例を下に示しておきます。
・【実数が超わかる！】◆２乗の根号のはずし方 （高校数学I・A）
・【実数が超わかる！】◆２乗の根号のはずし方 （高校数学I・A）
上記のような解説動画をみて、勢い余って解の公式の証明にも絶対値記号が必要なのでは？…なーんて考えだしていたんです。
２次方程式 $ ax^2 + bx + c = 0 $ を平方完成の形に変形すると下記のようになりますよね。
$ {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} $
ここまでは問題ないのですが、ここから左辺の２乗を取る時に、下記のように変形することを考えてしまったのです。
$ { \left| \displaystyle x+{\frac {b}{2a}} \right| = \displaystyle {\frac { | \sqrt {b^{2}-4ac\ } | }{ | 2a | }} } $
やっぱりこれって変ですよね。
今となってはその不自然さを理解できます。
でも、当時は分からなかったのです。少なからず変だなぁとは想ったのですが…実を言うと動画などを観たり、チャート式数学を参考にしたりもしたんですけどね。
でも、どうにも絶対値記号を使うことに頭がハマっていました。
今となってはその不自然さを理解できます。
でも、当時は分からなかったのです。少なからず変だなぁとは想ったのですが…実を言うと動画などを観たり、チャート式数学を参考にしたりもしたんですけどね。
でも、どうにも絶対値記号を使うことに頭がハマっていました。
そのハマり方を象徴するのが、下記の動画も視聴した時の私の感想です。
・落とし穴あり！2次方程式の解の公式の証明［今週の定理・公式No.1］
・落とし穴あり！2次方程式の解の公式の証明［今週の定理・公式No.1］
$ \sqrt{ A^2 } $ のルートの外し方を念頭に置きながら、２次方程式の解の公式に付いて解説されている動画です。
「絶対値記号に気が付くなんてなかなかだなぁ」
なんて関心しつつも、やっぱり「左辺側に付いては絶対値記号を使わないなんて、間違っている！」と考えちゃったんです。
こんな想い込み…皆さんはやったりしませんか？
こんな状態に陥るともう数学の学習が前に進みません。
進める気にもならなくなってしまいます。
私自身かなり苦しい状態が続いていたのですが…
進める気にもならなくなってしまいます。
私自身かなり苦しい状態が続いていたのですが…
でも、昨日ホッとしました。チャート式数学Iを学習していて、ちょうどこの式変形の解説 (p148) のところに進んできたので、その解説を鉛筆で書き写すと…何と！
見落としていたところに気が付けたんです。
見落としていたところに気が付けたんです。
これには驚きました。
２月２０日の時には「絶対値記号に対する配慮がないじゃないか」と想ったていたのですが なんのことはない、絶対値記号も出ているし、ちゃんと場合分けもしてあることが目に入りました。
自分のいい加減さ・思い込みの酷さに驚きです。
それに合わせて下記の２点の違いについても、頭の中が整理されてきました。
これは重要な点です。
これは重要な点です。
(1) $ \sqrt{ A^2 } $
上記は１つの数値を表しているものです。左辺も右辺もありません。でも
(2) $ {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} $
上記は等式なんですよね。変数を含んだ等式です。
上記は１つの数値を表しているものです。左辺も右辺もありません。でも
(2) $ {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} $
上記は等式なんですよね。変数を含んだ等式です。
この２つの違いをまだまだ明確には説明できませんが、ニュアンスだけはお伝えする努力をしてみましょう。
例えばこんな例題を取り上げてみましょう。
次の２次方程式を解け
$ (x + 1)x = (x + 1)(2x - 1) $
$ (x + 1)x = (x + 1)(2x - 1) $
この方程式の両辺を $ (x + 1) $ で割って $ x = 2x - 1 $ とするのは間違いです。この等式から $ x $ を求めると $ x = 1 $ のみしか出て来ません。
正しくは
$ (x + 1)(2x - 1) - (x + 1)x = 0 $
$ (x + 1) \{(2x - 1) - x \} = 0 $
$ (x + 1)(x - 1) = 0 $
となりますので $ x = 1,~-1 $ です。
正しくは
$ (x + 1)(2x - 1) - (x + 1)x = 0 $
$ (x + 1) \{(2x - 1) - x \} = 0 $
$ (x + 1)(x - 1) = 0 $
となりますので $ x = 1,~-1 $ です。
でもつい割りたくなった人もいるのではないでしょうか？
$ (x + 1) $
$ (x + 1) $
ではこれはいかがでしょうか？
$ (3 + 1) $
$ (3 + 1) $
上記なら間違いなく $ 4 $ としますよね。
(1) １つの数値を表している式
(2) 変数を含む等式
(2) 変数を含む等式
この２つの違い。私は混乱してました。これからも注意をして行こうと思います。
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