時空 解 さんの日記
2020
5月
8
(金)
09:35
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
表題にも書きました数式に、昨日は悩まされていました。
次の式を因数分解せよ。
(1) 省略
(2) $ a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) $
次の式を因数分解せよ。
(1) 省略
(2) $ a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) $
(2) は解答をみても納得できない…
これが普通に出来る人って、やっぱり凄いなぁと想います。
一応、答えを右に示しておきますね。
一応、答えを右に示しておきますね。
この (2) の式変形をみて納得できましたか？
私は今も悩んでいます。
解答では与式から答えを導くのに、９行に渡って変形を行っています。
この９行のなかで分かり難いのが４～５行目の変形、そして分からないのが６～７行目の変形でしょうね。
$ = (b - c) \{ a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + bc(b + c) \} $ ４行目
$ = (b - c) \{(c -a)b^2 + c(c - a)b - a(c + a)(c - a) \} $ ５行目
$ = (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $ ６行目
$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $ ７行目
私は今も悩んでいます。
解答では与式から答えを導くのに、９行に渡って変形を行っています。
この９行のなかで分かり難いのが４～５行目の変形、そして分からないのが６～７行目の変形でしょうね。
$ = (b - c) \{ a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + bc(b + c) \} $ ４行目
$ = (b - c) \{(c -a)b^2 + c(c - a)b - a(c + a)(c - a) \} $ ５行目
$ = (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $ ６行目
$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $ ７行目
４行目まではなんとか "２次・３次の因数分解の公式" を使いこなせれば変形できると想います。
４行目から５行目は、次数の低い $ b $ に付いて整理することに気が付くかどうかです。
$ = (b - c) \{ a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + bc(b + c) \} $ ４行目
$ = (b - c) \{ a^3 - ab^2 - abc - c^2 a + b^2 c + bc^2 \} $ (まずは { } 内を展開する)
$ = (b - c) \{(-a + c)b^2 + c(c - a)b + a(a^2 - c^2) \} $ ($ b $ に付いて整理)
$ = (b - c) \{(c - a)b^2 + c(c - a)b + a(a - c)(a + c) \} $
$ = (b - c) \{(c -a)b^2 + c(c - a)b - a(c + a)(c - a) \} $ ５行目
$ = (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $ ６行目
=？
$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $ ７行目
４行目から５行目は、次数の低い $ b $ に付いて整理することに気が付くかどうかです。
$ = (b - c) \{ a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + bc(b + c) \} $ ４行目
$ = (b - c) \{ a^3 - ab^2 - abc - c^2 a + b^2 c + bc^2 \} $ (まずは { } 内を展開する)
$ = (b - c) \{(-a + c)b^2 + c(c - a)b + a(a^2 - c^2) \} $ ($ b $ に付いて整理)
$ = (b - c) \{(c - a)b^2 + c(c - a)b + a(a - c)(a + c) \} $
$ = (b - c) \{(c -a)b^2 + c(c - a)b - a(c + a)(c - a) \} $ ５行目
$ = (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $ ６行目
=？
$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $ ７行目
でも６行目から７行目への変形方法が分かりません。
どうやったら６行目から７行目に変形できるの？
確認はできますけどね。７行目から６行目に変形を試みると…
$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $ ７行目
$ (b - a) $ を $ \{ c + (b + a) \} $ に掛けると
$ = (b - c)(c - a) \{ bc + b^2 + ab - ca - ab - a^2 \} $
ここで $ ab $ と $ -ab $ は消去できるので
$ = (b - c)(c - a) \{ bc + b^2 - ca - a^2 \} $ → $ (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $
６行目と同じになりますよね。
どうやったら６行目から７行目に変形できるの？
確認はできますけどね。７行目から６行目に変形を試みると…$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $ ７行目
$ (b - a) $ を $ \{ c + (b + a) \} $ に掛けると
$ = (b - c)(c - a) \{ bc + b^2 + ab - ca - ab - a^2 \} $
ここで $ ab $ と $ -ab $ は消去できるので
$ = (b - c)(c - a) \{ bc + b^2 - ca - a^2 \} $ → $ (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $
６行目と同じになりますよね。
６行目から７行目に行くためには $ ab $ と $ -ab $ を盛り込まなくてはなりませんが、これって思い付きます？？ 
むりくり考えるならば "交代式" だから $ (a - b) $ もあるはずだ！と言う考え方で式変形をするのだと想いますけどね…
むりくり考えるならば "交代式" だから $ (a - b) $ もあるはずだ！と言う考え方で式変形をするのだと想いますけどね…
対称式・交代式…これはガロアの群論を学ぶ時にもポイントとなることです。いまから慣れておかないとね。
では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。
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