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時空 解 さんの日記

 
2020
5月 8
(金)
09:35
青チャート式数学I重要例題17(2) $ a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) $ …交代式ですよ
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
 
表題にも書きました数式に、昨日は悩まされていました。

  次の式を因数分解せよ。
  (1) 省略
  (2) $ a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) $
 
(2) は解答をみても納得できない… 
 
これが普通に出来る人って、やっぱり凄いなぁと想います。
一応、答えを右に示しておきますね。
 
この (2) の式変形をみて納得できましたか?
私は今も悩んでいます。

解答では与式から答えを導くのに、9行に渡って変形を行っています。
この9行のなかで分かり難いのが4~5行目の変形、そして分からないのが6~7行目の変形でしょうね。

$ = (b - c) \{ a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + bc(b + c) \} $    4行目
$ = (b - c) \{(c -a)b^2 + c(c - a)b - a(c + a)(c - a) \} $  5行目
$ = (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $         6行目
$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $          7行目
 
4行目まではなんとか "2次・3次の因数分解の公式" を使いこなせれば変形できると想います。
4行目から5行目は、次数の低い $ b $ に付いて整理することに気が付くかどうかです。

$ = (b - c) \{ a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + bc(b + c) \} $    4行目
$ = (b - c) \{ a^3 - ab^2 - abc - c^2 a + b^2 c + bc^2 \} $ (まずは { } 内を展開する)
$ = (b - c) \{(-a + c)b^2 + c(c - a)b + a(a^2 - c^2) \} $ ($ b $ に付いて整理)
$ = (b - c) \{(c - a)b^2 + c(c - a)b + a(a - c)(a + c) \} $
$ = (b - c) \{(c -a)b^2 + c(c - a)b - a(c + a)(c - a) \} $  5行目
$ = (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $         6行目
=?
$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $          7行目
 
でも6行目から7行目への変形方法が分かりません。

どうやったら6行目から7行目に変形できるの?うーむ 確認はできますけどね。7行目から6行目に変形を試みると…

$ = (b - c)(c - a)(b - a) \{ c + (b + a) \} $         7行目

$ (b - a) $ を $ \{ c + (b + a) \} $ に掛けると
$ = (b - c)(c - a) \{ bc + b^2 + ab - ca - ab - a^2 \} $

ここで $ ab $ と $ -ab $ は消去できるので
$ = (b - c)(c - a) \{ bc + b^2 - ca - a^2 \} $ → $ (b - c)(c - a) \{ b^2 + cb - a(c + a) \} $

6行目と同じになりますよね。
 
6行目から7行目に行くためには $ ab $ と $ -ab $ を盛り込まなくてはなりませんが、これって思い付きます?? 汗
むりくり考えるならば "交代式" だから $ (a - b) $ もあるはずだ!と言う考え方で式変形をするのだと想いますけどね…
 
対称式・交代式…これはガロアの群論を学ぶ時にもポイントとなることです。いまから慣れておかないとね。
 
では今日も1日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。
 
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