時空 解 さんの日記
2020
5月
8
(金)
09:35
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
表題にも書きました数式に、昨日は悩まされていました。
次の式を因数分解せよ。
(1) 省略
(2) a3(b−c)+b3(c−a)+c3(a−b)
次の式を因数分解せよ。
(1) 省略
(2) a3(b−c)+b3(c−a)+c3(a−b)
(2) は解答をみても納得できない…
これが普通に出来る人って、やっぱり凄いなぁと想います。
一応、答えを右に示しておきますね。
一応、答えを右に示しておきますね。
この (2) の式変形をみて納得できましたか？
私は今も悩んでいます。
解答では与式から答えを導くのに、９行に渡って変形を行っています。
この９行のなかで分かり難いのが４～５行目の変形、そして分からないのが６～７行目の変形でしょうね。
=(b−c){a3−(b2+bc+c2)a+bc(b+c)} ４行目
=(b−c){(c−a)b2+c(c−a)b−a(c+a)(c−a)} ５行目
=(b−c)(c−a){b2+cb−a(c+a)} ６行目
=(b−c)(c−a)(b−a){c+(b+a)} ７行目
私は今も悩んでいます。
解答では与式から答えを導くのに、９行に渡って変形を行っています。
この９行のなかで分かり難いのが４～５行目の変形、そして分からないのが６～７行目の変形でしょうね。
=(b−c){a3−(b2+bc+c2)a+bc(b+c)} ４行目
=(b−c){(c−a)b2+c(c−a)b−a(c+a)(c−a)} ５行目
=(b−c)(c−a){b2+cb−a(c+a)} ６行目
=(b−c)(c−a)(b−a){c+(b+a)} ７行目
４行目まではなんとか "２次・３次の因数分解の公式" を使いこなせれば変形できると想います。
４行目から５行目は、次数の低い b に付いて整理することに気が付くかどうかです。
=(b−c){a3−(b2+bc+c2)a+bc(b+c)} ４行目
=(b−c){a3−ab2−abc−c2a+b2c+bc2} (まずは { } 内を展開する)
=(b−c){(−a+c)b2+c(c−a)b+a(a2−c2)} (b に付いて整理)
=(b−c){(c−a)b2+c(c−a)b+a(a−c)(a+c)}
=(b−c){(c−a)b2+c(c−a)b−a(c+a)(c−a)} ５行目
=(b−c)(c−a){b2+cb−a(c+a)} ６行目
=？
=(b−c)(c−a)(b−a){c+(b+a)} ７行目
４行目から５行目は、次数の低い b に付いて整理することに気が付くかどうかです。
=(b−c){a3−(b2+bc+c2)a+bc(b+c)} ４行目
=(b−c){a3−ab2−abc−c2a+b2c+bc2} (まずは { } 内を展開する)
=(b−c){(−a+c)b2+c(c−a)b+a(a2−c2)} (b に付いて整理)
=(b−c){(c−a)b2+c(c−a)b+a(a−c)(a+c)}
=(b−c){(c−a)b2+c(c−a)b−a(c+a)(c−a)} ５行目
=(b−c)(c−a){b2+cb−a(c+a)} ６行目
=？
=(b−c)(c−a)(b−a){c+(b+a)} ７行目
でも６行目から７行目への変形方法が分かりません。
どうやったら６行目から７行目に変形できるの？
確認はできますけどね。７行目から６行目に変形を試みると…
=(b−c)(c−a)(b−a){c+(b+a)} ７行目
(b−a) を {c+(b+a)} に掛けると
=(b−c)(c−a){bc+b2+ab−ca−ab−a2}
ここで ab と −ab は消去できるので
=(b−c)(c−a){bc+b2−ca−a2} → (b−c)(c−a){b2+cb−a(c+a)}
６行目と同じになりますよね。
どうやったら６行目から７行目に変形できるの？
確認はできますけどね。７行目から６行目に変形を試みると…=(b−c)(c−a)(b−a){c+(b+a)} ７行目
(b−a) を {c+(b+a)} に掛けると
=(b−c)(c−a){bc+b2+ab−ca−ab−a2}
ここで ab と −ab は消去できるので
=(b−c)(c−a){bc+b2−ca−a2} → (b−c)(c−a){b2+cb−a(c+a)}
６行目と同じになりますよね。
６行目から７行目に行くためには ab と −ab を盛り込まなくてはなりませんが、これって思い付きます？？ 
むりくり考えるならば "交代式" だから (a−b) もあるはずだ！と言う考え方で式変形をするのだと想いますけどね…
むりくり考えるならば "交代式" だから (a−b) もあるはずだ！と言う考え方で式変形をするのだと想いますけどね…
対称式・交代式…これはガロアの群論を学ぶ時にもポイントとなることです。いまから慣れておかないとね。
では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。
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