時空 解 さんの日記
2020
7月
17
(金)
09:04
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
対称式と言うのがありますよね。２変数 $ x $ と $ y $ の対称式 $ x^n + y^n $ の場合、$ x $ と $ y $ を好感してももともとの式と変わらないと言うものです。
この対称式は基本対称式 $ x + y ,~ xy $ の２つで表すことが出来ると言う特徴がありましたよね。参考書には必ず出ていることです。
でもこの特徴って、何の役に立つんでしょうかね？
「対称式を基本対称式で表す等式」と言うのがあるのですが、この等式を利用ことなんてあるのかなぁと、疑問に想っていたのですが…。
$ x^n + y^n = ( \textcolor{blue}{ x + y } )(x^{n-1} + y^{n-1}) - \textcolor{blue}{ xy } (x^{n-2} + y^{n-2}) $
昨日、ひとつの利用方法が分かりました。
下記の問題を解く時、一般には変数 $ y $ を消去して $ x $ を求めるのが一般ですね。
下記の連立方程式を解け
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 4 \\
x^4 + y^4 = 82
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
でもこの連立方程式から $ y = 4 - x $ と変形して $ x^4 + y^4 = 82 $ に $ y $ を代入しても下記の４次方程式になってしまい、解くのは困難です。
☆ $ x^4 -8x^3 +48x^2 -128x + 87 = 0 $
そこでもう一つ、問題を解く方法があります。
解と係数の関係を利用する方法ですね。
問題の連立方程式の一つは基本対称式そのものです。$ x + y $ 。これが $ 4 $ だと示されています。
ですから、$ x^4 + y^4 = 82 $ からもう一つの基本対称式 $ xy $ を求めればいいのです。
そうすると何が出来るのかって？
まぁ見ててください。
「対称式を基本対称式で表す等式」を使って変形すると下記のようになります。
☆ $ x^4 + y^4 = (x + y)^4 -4xy(x + y)^2 + 2(xy)^2 $
上式に $ x^4 + y^4 = 82 $ と $ x + y = 4 $ を代入して整理すると
☆ $ (xy)^2 -32xy +87 = 0 $
と言う２次方程式の形になり、これを解くと $ xy = 3 $ または $ xy = 29 $ と出て来ます。
さて、ここからが解と係数の関係の出番です。
解と係数の関係は下記のとおりでしたよね。
２次方程式 $ ax^2 + bx + c = 0 $ の解をそれぞれ $ \alpha,~ \beta $ とすると
・$ \alpha + \beta = \displaystyle - \frac{ b }{ a } $、 $ \alpha \beta = \displaystyle \frac{ c }{ a } $
この $ \alpha ,~\beta $ を $ x,~y $ と読みかえてやると $ x + y = 4 $ と $ xy = 3 $ から２次方程式を作ることができますよね。
$ xy = 3 $ のとき $ x^2 -4x + 3 = 0 $
$ a = 1 $ とすれば上記の２次方程式を得ることができます。これを解くと $ x = 1,~3 $ とでてくるんですよ。それで、これは対称式でしたから $ y = 1,~3 $ とも言えるのです。$ x = 1,~ y = 3 $ として問題の連立方程式が成り立つことを確認してみて下さい。
ちなみに $ xy = 29 $ の方で２次方程式を解くと、虚数解が出て来ますけど、これも答ですね。
では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。
対称式と言うのがありますよね。２変数 $ x $ と $ y $ の対称式 $ x^n + y^n $ の場合、$ x $ と $ y $ を好感してももともとの式と変わらないと言うものです。
この対称式は基本対称式 $ x + y ,~ xy $ の２つで表すことが出来ると言う特徴がありましたよね。参考書には必ず出ていることです。
でもこの特徴って、何の役に立つんでしょうかね？
「対称式を基本対称式で表す等式」と言うのがあるのですが、この等式を利用ことなんてあるのかなぁと、疑問に想っていたのですが…。
$ x^n + y^n = ( \textcolor{blue}{ x + y } )(x^{n-1} + y^{n-1}) - \textcolor{blue}{ xy } (x^{n-2} + y^{n-2}) $
昨日、ひとつの利用方法が分かりました。
下記の問題を解く時、一般には変数 $ y $ を消去して $ x $ を求めるのが一般ですね。
下記の連立方程式を解け
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 4 \\
x^4 + y^4 = 82
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
でもこの連立方程式から $ y = 4 - x $ と変形して $ x^4 + y^4 = 82 $ に $ y $ を代入しても下記の４次方程式になってしまい、解くのは困難です。
☆ $ x^4 -8x^3 +48x^2 -128x + 87 = 0 $
そこでもう一つ、問題を解く方法があります。
解と係数の関係を利用する方法ですね。
問題の連立方程式の一つは基本対称式そのものです。$ x + y $ 。これが $ 4 $ だと示されています。
ですから、$ x^4 + y^4 = 82 $ からもう一つの基本対称式 $ xy $ を求めればいいのです。
そうすると何が出来るのかって？
まぁ見ててください。
「対称式を基本対称式で表す等式」を使って変形すると下記のようになります。
☆ $ x^4 + y^4 = (x + y)^4 -4xy(x + y)^2 + 2(xy)^2 $
上式に $ x^4 + y^4 = 82 $ と $ x + y = 4 $ を代入して整理すると
☆ $ (xy)^2 -32xy +87 = 0 $
と言う２次方程式の形になり、これを解くと $ xy = 3 $ または $ xy = 29 $ と出て来ます。
さて、ここからが解と係数の関係の出番です。
解と係数の関係は下記のとおりでしたよね。
２次方程式 $ ax^2 + bx + c = 0 $ の解をそれぞれ $ \alpha,~ \beta $ とすると
・$ \alpha + \beta = \displaystyle - \frac{ b }{ a } $、 $ \alpha \beta = \displaystyle \frac{ c }{ a } $
この $ \alpha ,~\beta $ を $ x,~y $ と読みかえてやると $ x + y = 4 $ と $ xy = 3 $ から２次方程式を作ることができますよね。
$ xy = 3 $ のとき $ x^2 -4x + 3 = 0 $
$ a = 1 $ とすれば上記の２次方程式を得ることができます。これを解くと $ x = 1,~3 $ とでてくるんですよ。それで、これは対称式でしたから $ y = 1,~3 $ とも言えるのです。$ x = 1,~ y = 3 $ として問題の連立方程式が成り立つことを確認してみて下さい。
ちなみに $ xy = 29 $ の方で２次方程式を解くと、虚数解が出て来ますけど、これも答ですね。
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