皆さん、おはようございます。時空 解です。

今日は方程式から図形を考える時に、とても奥深いものを垣間見た気がしたので、それに付いて書いてみます。

青チャート式数学Iの重要例題１５７なんですが…
・期間限定公開 重要例題１５７

この (2) の問題の式変形がポイントです。与式 $ b \cos B = c \cos C $ に余弦定理を利用して 辺のみ の式にすると

(前式 省略)
$ b^2c^2 + a^2b^2 - b^4 = c^2a^2 + b^2c^2 - c^4 $
ここまでは問題もないと想いますが、数研出版さんの動画でも
「ここで手詰まりになります…」
などと解説をしていて、ここからの式変形がポイントであることを促します。

私はここで右辺を左辺に移行する前に $ b^2c^2 $ を消去したくなりました。
で、それをやると

$ a^2b^2 - b^4 = c^2a^2 - c^4 $
となりますよね。　

さて、ここからが私の間違ったところなのですが…　　上式を下記のように変形してしまったんです。

$ a^2b^2 - c^2a^2 = b^4 - c^4 $
$ (b^2 - c^2)a^2 = (b^2 + c^2)(b^2 - c^2) $

こんな風に変形をしてしまうと、うっかり $ (b^2 -c^2) $ を両辺から消去してしまいますよ。二等辺三角形と言う形を式から消去してしまうことになる訳です。

うーむ…　　　こんなミスをしないようにどう注意すれば良いのか分かりません。

数研出版さんの動画解説では
「手詰まりになったら、その式が解けないかどうかを考えましょう」
と言っています。

でもねぇ…そんなことを言われても
「解けるかどうかを考えるって、どういうこと？」
と思いますよね。

最終的にはチャート式の解答として、(解けるかどうか考えて式を変形をすると) 下記の流れになります。

$ a^2b^2 - b^4 = c^2a^2 - c^4 $
$ a^2b^2 - c^2a^2 - b^4 + c^4 =0 $ 
$ (b^2 - c^2)a^2 - (b^4 - c^4) =0 $
$ (b^2 - c^2)a^2 - (b^2 - c^2)(b^2 + c^2) =0 $
$ (b^2 - c^2)\left \{ a^2 - (b^2 + c^2) \right \} = 0 $ 

なるほど…このように変形していれば私だって $ (b^2 - c^2) $ を消去することはありませんけどね…。

「解けるかどうかを考える」って、どう認識して行けばいいのでしょうかね？　　　悩んでいます…。

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