皆さんこんにちは、時空 解です。

「三角形の成立条件」として下記の数式があります。
$ \left| b - c \right| \lt a \lt b + c $

青チャート式数学Ａでは、三角形の３辺の大小関係の定理8 のところで出て来ます。

三角形の３辺の長さに付いての定理なんですが、これって直感的には当たり前過ぎる気がしますよね。

「定理」とする必要がどこにあるのかと疑問になるほどです。
でも先に示した数式として扱う場合、絶対値記号が入っているので注意が必要です。

その例として、先に示したチャート式数学のページ内の

「逆に $ a,~b,~c $ がこの不等式を満たせば $ a,~b,~c $ はすべて正であり,」

と言う下線部の理由に付いて観てみましょう。
チャート式数学の解答編の p81 にもその理由に付いて検討として記載がありますので、まずはそれを示してみます。


上記の青チャート式数学の解説を観て納得が行ったでしょうか？
もしかすると

・$ b \geqq c $ のとき
に付いては納得できるでしょうけれど

・$ b \lt c $ のとき
に付いては同様にして $ b \gt 0,~c \gt 0 $ がピンとこないのではないでしょうか。　　…まぁ私が少しの間　？　だったのでね…。

でも、青チャート式数学Iのところで絶対値記号の学習をされている方なら直ぐに分るでしょう。私も想い出しました。

・$ b \lt c $ のとき
$ \left| b - c \right| $
の絶対値記号の中身は負数なので、絶対値を外す時にはマイナスを付けてやらないといけないんでしたよね。
$  \left| b - c \right| $ は $ -( b - c ) $ ですので $ -b + c $ となります。

これを三角形の成立条件にあてはめると
$ -b + c \lt b + c $

上式の右辺 $ b $ を左辺に移行、$ c $ を右辺に移行すると
$ -2b \lt 0 $

両辺を $ -2 $ で割ると
$ b \gt 0 $ となります。この結果より $ c $ も $ c \gt 0 $ が成立することになります。

絶対値記号を含む数式は使ってないと分らなくなりますよね？
注意が必要だなぁと想った次第です。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。