与式 $ 3a_n - 2S_n = 3^n $ より $ n = 1 $ ならば
 $ 3a_1 - 2S_1 = 3^1 $ 
ここで $ S_1 $ は $ S_1 = a_1 $ であるから
 $ 3a_1 - 2a_1 = 3^1 $
これより、初項の値は
$ a_1 = 3 $　…(1)
と分る。

次に $ a_n $ の漸化式を求めるため差分を調べてみる。つまり $ a_{n+1} - a_n $ を行う。

$ a_{n+1} $ に付いては
$ 3a_{n+1} - 2S_{n+1} = 3^{n+1} $　…(2)

$ a_n $ は
$ 3a_n - 2S_n = 3^n $　…(3)

が成立しているのだから、$ a_{n+1} $ と $ a_n $ の差は (1),(2) の左辺に注目すると
$ \left( 3a_{n+1} - 2S_{n+1} \right) - \left( 3a_n - 2S_n \right) $
これを整理すると
$ 3(a_{n+1} - a_n) - 2(S_{n+1} - S_n) $

また (1),(2) の右辺より
$ \left( 3^{n+1} \right) - \left( 3^n \right) = 3^n(3 - 1) = 2 \cdot 3^n $

$ \therefore　3(a_{n+1} - a_n) - 2(S_{n+1} - S_n) = 2 \cdot 3^n $　…(4)

(4) から $ S_n $ と $ S_{n+1} $ の項を消去できれば、$ a_{n+1} $ と $ a_n $ の項のみの式となり、漸化式を得ることになる。

$ S_{n+1} - S_n = a_{n+1} $ であるからこれを (4) に代入すると
$ 3(a_{n+1} - a_n) - 2(a_{n+1}) = 2 \cdot 3^n $
整理すると
$ a_{n+1} = 3a_n + 2 \cdot 3^n $　…(5)
を得る。

この (5) が { $ a_n $ } の漸化式である。

これで 初項 (1) と 漸化式 (5) を使って $ a_6 $ を順次求めることが出来る。

$ a_1 = 3 $
$ a_2 = 3 \cdot a_1 + 2 \cdot 3^1 = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3^1 = 15 $
$ a_3 = 3 \cdot a_2 + 2 \cdot 3^2 = 3 \cdot 15 + 2 \cdot 3^2 = 63 $
$ a_4 = 3 \cdot a_3 + 2 \cdot 3^3 = 3 \cdot 63 + 2 \cdot 3^3 = 243 $
$ a_5 = 3 \cdot a_4 + 2 \cdot 3^4 = 3 \cdot 243 + 2 \cdot 3^4 = 891 $
$ a_6 = 3 \cdot a_5 + 2 \cdot 3^5 = 3 \cdot 891 + 2 \cdot 3^5 = 3159 $

よって $ a_6 = 3159 $　　　　　　答：$ a_6 = 3159 $