与式 $3a_n - 2S_n = 3^n$ より $n = 1$ ならば
 $3a_1 - 2S_1 = 3^1$ 
ここで $S_1$ は $S_1 = a_1$ であるから
 $3a_1 - 2a_1 = 3^1$
これより、初項の値は
$a_1 = 3$　…(1)
と分る。

次に $a_n$ の漸化式を求めるため差分を調べてみる。つまり $a_{n+1} - a_n$ を行う。

$a_{n+1}$ に付いては
$3a_{n+1} - 2S_{n+1} = 3^{n+1}$　…(2)

$a_n$ は
$3a_n - 2S_n = 3^n$　…(3)

が成立しているのだから、$a_{n+1}$ と $a_n$ の差は (1),(2) の左辺に注目すると
$\left( 3a_{n+1} - 2S_{n+1} \right) - \left( 3a_n - 2S_n \right)$
これを整理すると
$3(a_{n+1} - a_n) - 2(S_{n+1} - S_n)$

また (1),(2) の右辺より
$\left( 3^{n+1} \right) - \left( 3^n \right) = 3^n(3 - 1) = 2 \cdot 3^n$

$\therefore　3(a_{n+1} - a_n) - 2(S_{n+1} - S_n) = 2 \cdot 3^n$　…(4)

(4) から $S_n$ と $S_{n+1}$ の項を消去できれば、$a_{n+1}$ と $a_n$ の項のみの式となり、漸化式を得ることになる。

$S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$ であるからこれを (4) に代入すると
$3(a_{n+1} - a_n) - 2(a_{n+1}) = 2 \cdot 3^n$
整理すると
$a_{n+1} = 3a_n + 2 \cdot 3^n$　…(5)
を得る。

この (5) が { $a_n$ } の漸化式である。

これで 初項 (1) と 漸化式 (5) を使って $a_6$ を順次求めることが出来る。

$a_1 = 3$
$a_2 = 3 \cdot a_1 + 2 \cdot 3^1 = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3^1 = 15$
$a_3 = 3 \cdot a_2 + 2 \cdot 3^2 = 3 \cdot 15 + 2 \cdot 3^2 = 63$
$a_4 = 3 \cdot a_3 + 2 \cdot 3^3 = 3 \cdot 63 + 2 \cdot 3^3 = 243$
$a_5 = 3 \cdot a_4 + 2 \cdot 3^4 = 3 \cdot 243 + 2 \cdot 3^4 = 891$
$a_6 = 3 \cdot a_5 + 2 \cdot 3^5 = 3 \cdot 891 + 2 \cdot 3^5 = 3159$

よって $a_6 = 3159$　　　　　　答：$a_6 = 3159$