50代から理数を学ぶ - 階差数列、ここがわからない。「実用数学技能検定要点整理２級」の p130 練習問題４-(1) を例にして

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時空解さんの日記

2021

3月 15

(月)

08:30

階差数列、ここがわからない。「実用数学技能検定要点整理２級」の p130 練習問題４-(1) を例にして

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カテゴリー数学検定

本文

皆さんこんにちは、時空解です。

今日は皆さんに私の考え方をご説明したいと思います。でもその考え方は間違っていて、正しい答えが導けないのですが…。
「間違っている考え方なんて、どうでもいいよ」
とおっしゃる方は、もちろんスルーして頂いて構いません。

でも、もしかしたら同じような疑問を抱いでいる読者さんも多いのではないかと思い立ち、書いてみることにしました。

ご興味のある方は目を通してみて下さいね。

では「実用数学技能検定要点整理２級」(以後 "テキスト" と表記) の p130 の練習問題４の (1) を例に取って説明します。(正解は下記画像)

テキスト p130、練習問題４-(1) の問題と答

まずは正しい考え方を丁寧に示してから、次に私の考え方を書いて行きますね。

与えられた数列 $\{a_n \}$ は
$2,~8,~18,~32,~50,~…$

で、これに ( $a_n - a_{n-1})$ を行うと

$2,　8,　18,　32,　50,~…$
　 $6,　10,　14,　18,~…$

を得る。これは初項 $6$ 公差が $4$ の等差数列だと分かる。これを $\{b_n \}$ 数列とする。

$a_1,　a_2,　~a_3,　~a_4,　~a_5,~…$
　　 $b_1,　~b_2,　~b_3,　~b_4,~…$

なので、 $a_n$ を書き並べると

$a_1 = 2$
$a_2 = a_1 + b_1$
$a_3 = a_2 + b_2　　= a_1 + b_1 + b_2$
$a_4 = a_3 + b_3　　= a_1 + b_1 + b_2 + b_3$
・
・
・
$a_n = a_{n-1} + b_{n-1} = a_1 + \underbrace{ b_1 + b_2 + … + b_{n-1} }_{ Point }$

これより $\{ a_n \}$ 数列の第 $n$ 項、 $a_n$ を求めるには、 $\{b_n \}$ 数列の総和 ( 上記の Point ) に $a_1$ を加えれば良い。

解答に従えば、

$\{b_n \}$ は初項

$b_1 = 6$ 、公差

$4$ より、

$b_n = 6 + 4(n-1)$ 　これを整理して

$b_n = 4n + 2$

従って

$1$ から

$n - 1$ までの

$\{b_n \}$ 数列の総和は

$\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } (4k + 2)$
　　

$= \displaystyle {4 \cdot \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } k + \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } 2}$

　　

$= \displaystyle {4 \cdot \frac{ (n - 1) \cdot ( 1 + n - 1) }{ 2 } + (n - 1) \cdot 2}$

　　

$= 2n^2 - 2$ 　…(1)

$a_1 = 2$ なので答：

$2n^2$ が求まる。

ですが私が行ったのは「Point」の部分をシグマ (Σ) を使った計算ではなく、あの有名なガウスが小学生の時に行ったことをやったんです。
1 ～ 100 をすべて足すと幾つになるか？と言う問いにガウスは

$\displaystyle \frac{ (1 + 100) \cdot 100 }{ 2 }$

を行ったんですよね。これが等差数列の総和の公式のもとでもありますよね。これを「Point」に対して行っても

$2n^2 - 2$

となるはずですよね？ねっ！　　なるはずですよね？　　でも、やってみると…

$b_1 + b_{n-1}$ に項数

$n-1$ を掛けて

$2$ で割れば良いので下記の式が立ちます。

$\displaystyle \frac{ (n-1) \cdot (b_1 + b_{n-1}) }{ 2 }$ 　　これを整理してゆくと、

　　

$= \displaystyle \frac{ (n-1) \cdot (6 + 6 + 4(n-1) ) }{ 2 }$

　　

$= \displaystyle \frac{ (n-1) \cdot (8 + 4n) ) }{ 2 }$

　　

$= \displaystyle \frac{ (n-1) \cdot 4 \cdot (n + 2) }{ 2 }$

　　

$= 2(n-1)(n+2)$

　　

$= 2n^2 + 2n - 4$ 　…(2)

$a_1 = 2$ なので答：

$2n^2 + 2n - 2$

となって、一致しないんです。

…どうして (1) と (2) の違いが出てくるのでしょうか？　それが分かりません。

とにかく、このブログに分からない点を明記しておいた次第です。

青チャート式数学Ｂの数列のところを学習すれば、この疑問は解決するかも知れませんが…数検の検定日も近づいています…。とりあえずテキストの学習を進めようと思っています。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

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