50代から理数を学ぶ - 明確になりました、階差数列の一般項

Home > ブログ > 時空解 > 数学検定 > 明確になりました、階差数列の一般項

時空解さんの日記

2021

3月 16

(火)

09:32

明確になりました、階差数列の一般項

前の日記次の日記

カテゴリー数学検定

本文

皆さんこんにちは、時空解です。

昨日の疑問が解決しました！　お２人の会員さんに感謝を致します。

本当にありがとうございます。４５年間この部分があやふやで数列に対して混乱をしていました。一歩前進できました。

m( _ _ )m

では、さっそく昨日のブログに修正を加える形で、ガウス少年のやり方でも答えが出せることを確認して行きます。

昨日と同様に「実用数学技能検定要点整理２級」(以後 "テキスト" と表記) の p130 の練習問題４の (1) を例に取って説明します。(正解は下記画像)

テキスト p130、練習問題４-(1) の問題と答

与えられた数列 $\{a_n \}$ は
$2,~8,~18,~32,~50,~…$

で、これに ( $a_n - a_{n-1})$ を行うと

$2,　8,　18,　32,　50,~…$
　 $6,　10,　14,　18,~…$

を得る。これは初項 $6$ 公差が $4$ の等差数列だと分かる。これを $\{b_n \}$ 数列とする。

$a_1,　a_2,　~a_3,　~a_4,　~a_5,~…$
　　 $b_1,　~b_2,　~b_3,　~b_4,~…$

なので、 $a_n$ を書き並べると

$a_1 = 2$
$a_2 = a_1 + b_1$
$a_3 = a_2 + b_2　　= a_1 + b_1 + b_2$
$a_4 = a_3 + b_3　　= a_1 + b_1 + b_2 + b_3$
・
・
・
$a_n = a_{n-1} + b_{n-1} = a_1 + \overbrace{ b_1 + \underbrace{ b_2 + … + b_{n-1} }_{ \textcolor{blue}{ add~:~d = 4 }}}^{ \textcolor{red}{ Point } }$

これより $\{ a_n \}$ 数列の第 $n$ 項、 $a_n$ を求めるには、 $\{b_n \}$ 数列の総和 ( 上記の $\textcolor{red}{ Point }$ ) に $a_1$ を加えれば良い。

解答に従えば、

$\{b_n \}$ は初項

$b_1 = 6$ 、公差

$4$ より、
一般項は

$b_n = 6 + 4 \cdot (n - 1)$ 　これを整理して
　　　　

$b_n = 4n + 2$

従って

$1$ から

$\textcolor{red}{ n -1 }$ までの

$\{b_n \}$ 数列の総和は

$\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ \textcolor{red}{ n -1 } } (4k + 2)$
　　

$= \displaystyle {4 \cdot \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } k + \sum_{ k = 1 }^{ n - 1 } 2}$

　　

$= \displaystyle {4 \cdot \frac{ (n - 1) \cdot ( 1 + n - 1) }{ 2 } + (n - 1) \cdot 2}$

　　

$= 2n^2 - 2$ 　…(1)

$a_1 = 2$ なので答：

$2n^2$ が求まる。

またこの答は、あの有名なガウス少年が行った $1 ～ 100$ をすべて足すと幾つになるか？と言う問いに対する考え方からも導くことができます。
注意すべきは、
「 $\textcolor{blue}{ add : d = 4 }$ 」の部分。公差が加えられている項の個数は $n - 1$ よりさらに $1$ 個少ないところです。
これを $\textcolor{red}{ Point }$ の $n - 1$ と区別する点です。

この部分に気を付けてやってみましょう。

$b_1 + b_{ \textcolor{red}{ n - 1 } }$ に項数

$n-1$ を掛けて

$2$ で割れば良いので下記の式が立ちます。

$\displaystyle \frac{ ( \textcolor{red}{ n - 1 } ) \cdot (b_1 + b_{\textcolor{red}{ n - 1 }}) }{ 2 }$

$b_1 = 6$ 、

$b_{\textcolor{red}{ n - 1 }} = 6 + 4 \cdot ( \textcolor{blue}{ n - 2 } )$ なので、これを上式に代入すると、

$\displaystyle \frac{ ( \textcolor{red}{ n - 1} ) \cdot (6 + 6 + 4 \cdot ( \textcolor{blue}{ n - 2 } ) ) }{ 2 }$

　　

$= \displaystyle \frac{ (n-1) \cdot (4n + 4) ) }{ 2 }$

　　

$= \displaystyle \frac{ (n-1) \cdot 4 \cdot (n + 1) }{ 2 }$

　　

$= 2(n-1)(n+1)$

　　

$= 2n^2 - 2$ 　…(2)

$a_1 = 2$ なので答：

$2n^2$ となって一致。

いやぁ～、やっと一致しました。納得できました。

私が見えてなかったところは、赤い文字のところと青い文字のところですね。
これで気持ちよく前に進めます。

こんさん、安藤商会さん。改めてコメントを頂き、そしてご指導して頂き感謝したします。m( _ _ )m

今回の内容…また気になるところとか、私が勘違いしているようなところがあればご指摘をお願いいたします。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

閲覧(7156)

コメントを書く
コメントを書くにはログインが必要です。