皆さんこんにちは、時空 解です。

今日は以前、３月１８日に取り上げた誤植を含んだ問題「実用数学技能検定要点整理２級 (以降、テキスト)」に付いて、再び書いてみます。
今回は誤植ではなく問題の内容に付いての感想です。

まずはその問題を下記に示します。テキスト  p135、応用問題２(２次問題)

初項が $1$ の数列 $\{a_n \}$ について、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、
　　　$S_n = 3S_{n-1}$ 　　 $( n=2,~3,~4,~ … )$
を満たすとき、次の問いに答えなさい。
(1) $S_n$ を求めなさい。
(2) $b_n = \displaystyle \frac{ a_{n+1} }{ a_n }$ で定められる数列 $\{ b_n \}$ について、初項から第 $n$ 項までの和を求めなさい。

この問題、本音を申しますと３月１８日の時点では答を見てもどうにも違和感に襲われて、答を受け入れられなかったんですよね。

でも今日はやっと、その違和感が払拭できました。
どんな違和感かと申しますと表題の通り

・$a_n = 3a_{n - 1}$ と $S_n = 3S_{n - 1}$ との違い

です。

皆さんは $S_n$ が $a_n = ($ 数式 $)$ の前に出てくると違和感を感じたりしませんか？　( ^^;
$S_n$ は数列の和を表す記号ですので、その前提となる数列 $\{ a_n \}$ が先に示されていない事にまず ？ 状態に襲われます。

確かに問題文の出だしに
「初項が $1$ の数列 $\{a_n \}$ について…」とありますが、その後に $S_n$ が出て来ますからね。これに頭の中が対応出来なかったのです。
$a_n = 3a_{n - 1}$
を見れば、$\{ a_n \}$ は公比が $3$ の等比数列だなぁとは予想が付きますが、
$S_n = 3S_{n - 1}$
ですからね。
「えっ？　和をさらに３倍…？」ここで頭の中が真っ白…

で、今日の朝にテキストの解き方 (解答) に載っている $a_n = 2 \cdot 3^{n - 2}$ の式を使って数列 $\{a_n \}$ から $S_n$ を算出してみたんです。
それでようやく腑に落ちたんです。結果は下記のようになります。

$a_1 = 1 ~~$ 　　　 $S_1 = 1$
$a_2 = 2 ~~$ 　　　 $S_2 = 3$
$a_3 = 6 ~~$ 　　　 $S_3 = 9$
$a_4 = 18 ~$ 　　　 $S_4 = 27$
$a_5 = 54 ~$ 　　　 $S_5 = 81$
$a_6 = 162$ 　　　 $S_6 = 243$

今まで私の頭の中では $\{ a_n \}$ ありきの $S_n$ でしたからね。この逆もありなんですね。

この問題は $S_n - S_{n-1} = a_n$ を数学的に利用できるかを問う問題なんでしょうかね…私は使いこなせなかった訳です。
いやはやお恥ずかしい…。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。