皆さんこんにちは、時空 解です。

今日は以前、３月１８日に取り上げた誤植を含んだ問題「実用数学技能検定要点整理２級 (以降、テキスト)」に付いて、再び書いてみます。
今回は誤植ではなく問題の内容に付いての感想です。

まずはその問題を下記に示します。テキスト  p135、応用問題２(２次問題)

初項が $ 1 $ の数列 $ \{a_n \} $ について、初項から第 $ n $ 項までの和 $ S_n $ が、
　　　$ S_n = 3S_{n-1} $ 　　 $ ( n=2,~3,~4,~ … ) $
を満たすとき、次の問いに答えなさい。
(1) $ S_n $ を求めなさい。
(2) $ b_n = \displaystyle \frac{ a_{n+1} }{ a_n } $ で定められる数列 $ \{ b_n \} $ について、初項から第 $ n $ 項までの和を求めなさい。

この問題、本音を申しますと３月１８日の時点では答を見てもどうにも違和感に襲われて、答を受け入れられなかったんですよね。

でも今日はやっと、その違和感が払拭できました。
どんな違和感かと申しますと表題の通り

・$ a_n = 3a_{n - 1} $ と $ S_n = 3S_{n - 1} $ との違い

です。

皆さんは $ S_n $ が $ a_n = ( $ 数式 $ ) $ の前に出てくると違和感を感じたりしませんか？　( ^^;
$ S_n $ は数列の和を表す記号ですので、その前提となる数列 $ \{ a_n \} $ が先に示されていない事にまず ？ 状態に襲われます。

確かに問題文の出だしに
「初項が $ 1 $ の数列 $ \{a_n \} $ について…」とありますが、その後に $ S_n $ が出て来ますからね。これに頭の中が対応出来なかったのです。
$ a_n = 3a_{n - 1} $
を見れば、$ \{ a_n \} $ は公比が $ 3 $ の等比数列だなぁとは予想が付きますが、
$ S_n = 3S_{n - 1} $
ですからね。
「えっ？　和をさらに３倍…？」ここで頭の中が真っ白…

で、今日の朝にテキストの解き方 (解答) に載っている $ a_n = 2 \cdot 3^{n - 2} $ の式を使って数列 $ \{a_n \} $ から $ S_n $ を算出してみたんです。
それでようやく腑に落ちたんです。結果は下記のようになります。

$ a_1 = 1 ~~$ 　　　 $ S_1 = 1 $
$ a_2 = 2 ~~$ 　　　 $ S_2 = 3 $
$ a_3 = 6 ~~$ 　　　 $ S_3 = 9 $
$ a_4 = 18 ~$ 　　　 $ S_4 = 27 $
$ a_5 = 54 ~$ 　　　 $ S_5 = 81 $
$ a_6 = 162 $ 　　　 $ S_6 = 243 $

今まで私の頭の中では $ \{ a_n \} $ ありきの $ S_n $ でしたからね。この逆もありなんですね。

この問題は $ S_n - S_{n-1} = a_n $ を数学的に利用できるかを問う問題なんでしょうかね…私は使いこなせなかった訳です。
いやはやお恥ずかしい…。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。