皆さんこんにちは、時空 解です。

「実用数学技能検定要点整理２級」の "第５章 5-1 導関数" に付いて整理してみました。

(1) 導関数を導くための公式
まぁこれは個人的には大丈夫ですが、一応書いておきましょう。
　　　$ \left( x^n \right)’ = nx^{n \ – 1} $　　　例) $ \left( 2x^3 \right)’ = 2 \cdot 3 x^{3 - 1} = 6x^2 $
　　　$ \left( k \right)’ = 0 $　　　　　　例) $ \left( 4 \right)’ = 0,~\left( 9 \right)’ = 0  $

(2) 与式の接線方程式
与式 $ f(x) $ で描かれる曲線グラフ上の任意の点を $ (a,~ f(a) ) $ とすると、この点の接線方程式は
$ y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a) $

例題　放物線 $ y = x^2 $ 上の点  $ (2,~4) $ における接線の方程式を求めなさい。
解答　接線の傾きは接するグラフの導関数なんで $ y' = 2x $ 。傾き $ 2x $ のグラフが点 $ (2,~4) $ を通るのだから、
　　　$ y - 4 = 2 \cdot 2(x - 2) $　　これを整理すると　$ y = 4x - 4 $
　　　答：$ y = 4x - 4 $

(テクニック 1)
$ f(x) $ と $ g(x) $ の二つの曲線に、ともに接する接線方程式の求め方。

・まずはどちらかの曲線 (例えば $ f(x) $) に付いて任意の点 $ (a,~ f(a) ) $ における接線方程式を立てる。
　　　$ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $

・次に残りの曲線グラフ ($ g(x) $) と上記の接線方程式とが接するのだから
　　　$ g(x) = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $
　　　　　上式の判別式 $ D = 0 $(重解) から $ a $ を求める。

・最後に
　　　$ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $
　　　　　に求めた $ a $ の値を代入して接線方程式を完成させる。

(テクニック 2)
座標平面上の点 $ (x_1,~y_1) $ から放物線 $ f(x) $ へ引ける２つの接線方程式の求め方

・まずは放物線 $ f(x) $ に任意の点 $ (a,~f(a)) $ を想定して、この点の接線方程式を立てる。
　　　$ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $

・次に上式に座標平面上の点 $ (x_1,~y_1) $ を代入すると、任意の点の $ a $ だけが変数として残る。
　　　$ y_1 = f'(a) \cdot (x_1 - a) + f(a) $

・最後に上式から変数 $ a $ を求めれば、２つの接線方程式が定まる。

うーむ…こんな整理なんてしてないで、どんどん先に進んだほうが良かったかな？
　(まぁブログのネタとしてまとめたようなものです)

"第５章 5-2 導関数の応用" に付いては、
 $ y = $ (定数) と曲線 (３次方程式) が接する点は何個か？
と言う問題がメインのようですから増減表が書ければ問題ないかなぁ…。ちょっと適当ですが、今日は辺で。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。