皆さんこんにちは、時空 解です。

この数日間、青チャート式数学ＢＡ(2021-05-20 修正) の「整数の性質」に学習を進めているのですがとてもシンプルな難しさが潜んでいますよね。
シンプルな…と言っても人それぞれのイメージ表現ですので意味が伝わらないと想いますので、一つ例題を書いてみます。

青チャート式数学ＢＡ(2021-05-20 修正) 第４章 整数の性質 基本例題１０８ 素数の問題
(1) $ n $ は自然数とする。$ n^2+2n-24 $ が素数となるような $ n $ をすべて求めよ。
(2) $ p,~q,~r $ を $ p \lt q \lt r $ である素数とする。等式 $ r = q^2-p^2 $ を満たす $ p,~q,~r $ の組 $ (p,~q,~r) $ をすべて求めよ。

(1) に付いては
$ n^2 + 2n - 24 = (n+6)(n-4) $

と因数分解するのが第１歩です。
でも私は整数の問題に慣れてないせいか、ここからどうしたら良いのかちょっと迷いました。

整数問題に対する記述的な解答の定石と言うものもあるようで $ n $ は自然数とあるので
$ n+6 \gt 0 $
と
$ n+6 \gt n-4 $

を記述しないといけないようです。

それと素数は自然数なので
$ n^2 + 2n - 24 = (n+6)(n-4) $
から
$ n-4 \gt 0 $
も記述する必要があります。

でもまぁここまでは整数問題を解くためのお約束的な感じなんですが、ここからが (1) の問題のポイントでしょうか。

まず素数と言うのは、自分自身と $ 1 $ のみを約数としてもつ自然数ですから $ (n+6)(n-4) $ と言う２数 $ (n+6) $ と $ (n-4) $ の内どちらかが $ 1 $ になるはずだと明確に分からないといけません。
２次方程式を因数分解すると、なんだか $ =0 $ を思い浮かべてしまうのは私だけでしょうかね？

ともかくここは素数２つの因数に分けられているのだから、因数の内小さい方の数字が $ 1 $ だということから
$ n-4 = 1 $
と分かります。
$ \therefore n = 5 $

そしてもう一つの大きい方の数字が自分自身の数字であればよいと言う事です。
このことも確認する必要があるんですよね。これが整数問題を解答する時にの正しい記述の仕方です。
$ 5 + 6 = 11 $ となり、素数。
この確認が必要です。

(2) に付いてもまずは因数分解です。
$ r = (q+p)(q-p) $
で、$ q-p = 1 $ ですよね。ここで大切なポイントが

・２つの整数の和、または差の偶奇。奇数ならば２つの整数の偶奇は異なり、偶数ならば偶奇は一致する。
偶奇の異なる例として $ 2 $ と $ 3 $。
偶奇の一致する例として $ 7 $ と $ 11 $。

です。
上記の表現はややこしいですよねぇ。
偶奇と言う言葉を使うとゴチャとします。でも青チャート式数学ＢＡ(2021-05-20 修正) に出て来ますので慣れる方がよいでしょうね。
ともかく
２つの整数の和とか差が奇数だったら、その２つの整数内のどちらか一方が奇数で、もう片方は偶数ですよね。
２つの整数の和とか差が偶数だったら、両方とも偶数か両方とも奇数ですよね。

さて、これを素数に適用すると
「２つの素数の和、または差が奇数になる場合、２つの内のどちらかが $ 2 $ である」
と言うことなんです！　

２つの素数を足したり引いたりして出てくる答が $ 1 $ 。つまり奇数であるのはどちらか一方が偶数。素数で偶数なのは $ 2 $ しかありませんからね。
結局
$ q - p = 1 $
から $ q,~p $ ともに素数と言うことより、小さい数字 $ p $ のとりうる数字は $ 2 $ ただ一つだと分かるということです。
これにはちょっと衝撃を受けました。

でも一度分かってしまえばもう当たり前…ですかね。

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。