皆さんこんにちは、時空 解です。

いやはや、やっとピンときました。

今日の朝合同式の性質をどう利用するのか分かりました。
分かってしまえば合同式を、割り算は別として、等式と同じように扱えるんですね。

昨日まで、例えば下記の合同式

$ 4 \equiv 9 $　(mod $ 5 $ )　…(1)

これを下記のように「等式の間違ったイメージ」で観ていました。(両辺を $ 5 $ で割ると余りは $ 4 $ だから…)

$ 4~\div$$R~5 = 9~\div$$R~5 $

頭の中でこんな「等式の間違ったイメージ」で合同式を観ていましたので、等式と合同式の区別がごっちゃになっていたんでしょうね…。

正確に書くならば

$ 4~\div$$R~5 = 0 $　余り $ 4 $、
$ 9~\div$$R~5 = 1 $　余り $ 4 $

と書かなくてはいけません。



これに気が付いてやっと、…私は (1) の合同式と、下記の合同式を違う視点から観ることが出来始めたんです。

$ 9 \equiv 14 $　(mod $ 5 $ )　…(2)

(1),(2) を改めて観てみると

$ 4 \equiv 14 $　(mod $ 5 $ )

上記が成立することが分かりますよね。

やれやれ…これが青チャート式数学Ａの基本事項に載っている "推移律" と言う性質なんですね。＿|￣|○

この "推移律" を初めて基本事項で観た時には
「こんなの当たり前じゃなんか」
とバカにしてたんですけどね。

でも、合同式を「等式の間違ったイメージ」で観ていたせいで、私は利用出来なかったのです。(と言う言い訳をさせて下さい、みなさま… )

ここで下記の問題を例に、推移律の利用の仕方を見てみましょう。
 

問題　演習例題１２１　より (2)-(イ)
$ 3x \equiv 4 $　(mod $ 5 $ )

上式の合同方程式を $ x $ について解くためには、両辺を $ 3 $ で割る必要があります。mod は $ 5 $ ですので $ 3 $ と互いに素であることから $ 3 $ で割り算が可能です。ですから

・右辺の $ 4 $ を 推移律 を利用して $ 5 $ を法とする合同な数に置き換える

これを実行すれば良いだけの話なんですよね。( ^^;

$ 4 $ は $ 3 $ で割り切れませんから、mod である $ 5 $ を足してみましょう。そうすると

$ 4 + 5 = 9 $

となります。$ 9 $ は $ 3 $ で割り切れます。したがって

$ 3x \equiv 4 $　(mod $ 5 $ )　…(a)
$ 3x \equiv 9 $　(mod $ 5 $ )　…(b)

上記 (a),(b) は合同式として同じですので、 (b) の両辺を $ 3 $ で割ると ( $ 3 $ と $ 5 $ は互いに素 )

$ x \equiv 3 $　(mod $ 5 $ )

これで合同方程式を解いたことになるんですね。

いやはや…今日の今日まで
「合同式は全く理解できない…」
と落ち込んでおりました。

でもこれでまた前に進めます。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。