皆さんこんにちは、時空 解です。

さて、今日はファインマン物理学をちょっと横に置いておいて、「点と直線の距離」の公式について書いてみたいと思います。

前回数学検定を受けた時にも、その直前に思い出せなかった公式です。
ブログにもそのことは投稿してあったのですが、その後、やりっぱなしになっていました。( ^^;
・「点と直線の距離」の公式を理解するのも難しいですね…

検定直前に公式を見直しているのなら、その証明を理解しようとか、まぁ理解はできなくても丸暗記くらいはしよう！…そんな対処をしなくちゃいけないですよね。

それを怠っております。＿|￣|○

こんなことだから、数学検定の問題で出題されたときに解けないんですよね。

今日は「点と直線の距離」の公式の解説を半分理解しました。青チャート式数学IIに載っている解説です。(右画像参照)

前回の数学検定の直前にも、この証明は見ていたんですが、実際に鉛筆 (フリクションボールペンですけどね…) を持って式の変形を自分でやってみなかったんです。眺めただけ…
そんなことだから公式が頭に入らないんですよね。

青チャート式数学IIに載っているこの解説は、第３章の１４節に載っていますが、その前の１３節をちゃんと学習していることを前提として書かれているようで、シンプルです。( ^^;
解説を眺めただけではなかなか理解できるものではありません。

ポイントは２つあって、まずは下記が一つ目のポイントです。(これは確認できました)

$ ax + by + c = 0 $　　…(3)
$ bx - ay = 0 $　　　　…(4)

$ x_0 = \displaystyle - \frac{ ac }{ a^2 + b^2 } $、　　　$ y_0 = \displaystyle \frac{ bc }{ a^2 + b^2 } $

(4) の式を導けるかどうか、が問題です。原点 $ O $ から直線 (3) に垂線を下した直線の方程式です。

頭のなかでは
「(3) とは傾きが９０度違って、原点を通るのだから…」
と言うことは分かるのですが、「傾き」と「原点を通る」と言うことを具体的に数値にできないとダメです。

(4) を導いてみましょう。

まずは (3) を式変形すると
$ \displaystyle { y = - \frac{ a }{ b } \cdot x - \frac{ c }{ b } } $
となりますので、この直線の傾きは
$ \displaystyle - \frac{ a }{ b } $
ですよね。

この傾きと９０度違う「傾き」は、さていくつでしょう？　これは

・掛け合わせると $ -1 $ になる

と言う明快な理解が必要です。

$ Q \cdot \displaystyle - \frac{ a }{ b } = -1 $
です。これを解いて
$ Q = \displaystyle \frac{ b }{ a } $

それと「原点を通る」ということは…
$ c = 0 $ であるから、つまり原点 $ O $ から (3) の直線に垂線を下した、その直線の方程式は
$ y = \displaystyle \frac{ b }{ a } \cdot x + 0 $

上式のを変形すると確かに (4) $ bx - ay = 0 $ になりますよね。

さて、この (3) と (4) から
$ x_0 = \displaystyle - \frac{ ac }{ a^2 + b^2 } $、　　　$ y_0 = \displaystyle \frac{ bc }{ a^2 + b^2 } $
を導くのですが、これは連立方程式を解くのと同じです。

(3) と (4) の直線の交点を $ (x_0,~y_0) $ として、両方の直線の方程式にそれぞれ代入します。
$ ax_0 + by_0 + c = 0 $　　…(3)'
$ bx_0 - ay_0 = 0 $　　　　…(4)'

この (3)' と (4)' から、$ x_0 $ を求めるには $ y_0 $ を消去して整理すればいいですよね。$ y_0 $ をもとめたい場合もその逆で $ x_0 $ を消去して整理すれば出て来ます。

ここまでが一つ目のポイントでしょう。



次のポイントは、(3) の直線の平行移動の方法です。
原点 $ O $ と任意の点 $ P = (x_1,~y_1) $ の関係から平行移動を行えばいいのですよね。

これも実際にやってみたかったのですが、今日はちょっと時間になってしまいました。

すみません、これは皆さん各自で行って頂けますか？　( ^^;

私自身も今日中に確認するつもり…です。今は時間切れ、ということで…すみません。＿|￣|○

ともかく、この「点と直線の距離」の公式は、
「直交する直線の方程式の導き方」と
「直線を平行移動させる方法」の２つの応用ですからね、テストに出題される率も高いのでしょうね…。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。

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