皆さんこんにちは、時空 解です。

数検の提携会場受検が今月の２８日に迫っています。
私もボチボチと２級２次検定の学習を進めています。ここの会員の方の中にも、数検の受検に向けて学習を進めておられる方がいらっしゃいます。

数検に挑んでいるみなさん、一緒に頑張りましょうね！

昨日は、そんな会員の方からコメントを頂きました。

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コメントの内容を一番よく表している一文は
「上手く式変形すれば、楽に計算できるものなのか？」
と言ったところでしょう。

数検の準１級の問題となると、たとえ１次であっても、ただ計算をすれば良い、と言うものでは無くなってくるようですね。
なにも考えずにまともに計算を始めると、時間が掛かってしまう場合もある - この点がちょっと怖いです。

会員の方から教えて頂いた問題は、次の通りです。(これは実際に過去に出題された過去問です)

 $ i $ を虚数単位とします。　$ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{7} i }{ 2 } $ のとき、$ x^3 + 2x^2 + 7 $ の値を求めなさい。

皆さんでしたら、この問題をどう攻略しますか？　…ではさっそく問題に取り掛かりましょう！

　　…と　　その前に…
　　　　ちょっと待って下さいね！　

この問題を解く前に次の問題を考えてみてください。front-Q とでもしておきましょう。
 
この front-Q の解法はピンくるでしょうか？
高校数学のIIで学習する「高次方程式」の問題ですよね。

答えは ○ です。

求め方は簡単で、実際に $ x $ を与式に代入して、その値が $ 0 $ になるか否かを確認すれば良いです。

でも、これだと虚数単位を含む分数計算を行うことになります。もうちょっと上手い方法はないかなぁ…と、皆さんも感じられると思います。

他に考えられる方法としては、実数解がどんな値か当たりを付ける、というものがあるでしょう。
実は、この $ x^3 + 2x^2 + 9 $ は $ (x + 3)(x^2 - x + 3) $ と因数分解できます。

 $ x^3 + 2x^2 + 9 = 0 $ となる $ x $ の実数値は？

この問いについても、$ x $ に実数を代入して、式の値が $ 0 $ になるのかを確認する必要があります。
でも、計算は簡単で、しかも３つ程度で済みます。

まず $ x $ に代入するのは整数として、負の数が妥当だということは分かりますよね？
それが分かったのなら、後は下記の計算をするだけです。
 
つまり、
  の一つの実数解だと分かります。

次に $ (x + 3) $ で  $ (x^3 + 2x^2 + 9) $ を割ります。

割り算の結果は です。

これを２次方程式の解公式で解くと
$ x = \displaystyle \frac{ 1 \pm \sqrt{11} i }{ 2 } $ 
となり、 front-Q の答えは ○ だと分かります。

ここまでで、問題を考える時に試行錯誤する必要がある内容は
 
上記２つだと、当たりが付くのではないでしょうか。


ではこの２つを踏まえて、もと問題に戻りましょう。

 $ i $ を虚数単位とします。　$ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{7} i }{ 2 } $ のとき、$ x^3 + 2x^2 + 7 $ の値を求めなさい。

まず初めに、与えられた $ x $ を式に代入したら $ 0 $ になるか否かの当たりをつけたいですよね。
ですので、下記を実施します。
 
この結果を見て、実数解は整数でないことがわかりますよね。$ 2 \lt x \lt 3 $ です。

この時点で $ x^3 + 2x^2 + 7 $ の因数分解はキレイな形ではできないことが想像できます。

だとすると、この問題は
$ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{7} i }{ 2 } $
を代入して計算しても、$ 0 $ ではない値が出てくる可能性が高いだろうなぁ…と思えませんか？
まぁこの判断はちょっと強引かも知れませんけどね。

ともかくこの時点で、私なら $ 0 $ にはならないな、と判断して直接式に $ x $ を代入、計算をはじめます。

まずは $ x^2 $ を求めましょう。
$ \displaystyle {\left( \frac{ 1 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } \right )}^2 = \displaystyle \frac{ -3 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } $

次に $ x^2 \cdot x $ を行います。
$ \displaystyle { \left( \frac{ -3 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } \right )} \cdot \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } = \displaystyle \frac{ -5 - \sqrt{ 7 } i }{ 2 } $


最後に上の２つ結果を持って $ x^3 + 2x^2 + 7 $ を計算します。

皆さんならどう致しますか？
もっとよい思考錯誤・手順があるようでしたら、コメントを頂けるとありがたいです。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。

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